Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2888
2019-05-06 
800 чисел выписаны в виде прямоугольной таблицы, имеющей 100 строк и 80 столбцов; при этом произведение суммы всех чисел любого столбца на сумму всех чисел любой строки равно числу, стоящему в пересечении этого столбца и этой строки. Известно, что число, стоящее в правом верхнем углу таблицы, положительно. Чему равна сумма всех составляющих таблицу чисел?
Решение:
Обозначим сумму всех чисел таблицы буквой $S$; сумму всех чисел $i$-й строки (где $i = 1, 2, \cdots, 100$) - через $s_i$, сумму всех чисел $j$-го столбца (где $j = 1, 2, \cdots, 80$) - через $\sigma_j$; наконец, число, стоящее в пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, обозначим через $a_{ij}$. По условию задачи
$a_{ij} = s_i \sigma_j$, (*)
откуда
$s_i = a_{i1} + a_{i2} + \cdots + a_{i, 80} = s_i \sigma_1 + s_i \sigma_2 + \cdots + s_i \sigma_{80} = s_i (\sigma_1 + \sigma_2 + \cdots + \sigma_{80}) = s_iS (i = 1, \cdots, 100)$,
и, значит, либо $S = 1$, либо все $s_i = 0$. Но если $s_i = 0$ при всех $i = 1, \cdots, 100$, то, в силу (*), все элементы $a_{ij}$ нашей таблицы равны нулю. А так как, по условию задачи, «угловой» элемент $a_11 > 0$, то $S = 1$.
800 чисел выписаны в виде прямоугольной таблицы, имеющей 100 строк и 80 столбцов; при этом произведение суммы всех чисел любого столбца на сумму всех чисел любой строки равно числу, стоящему в пересечении этого столбца и этой строки. Известно, что число, стоящее в правом верхнем углу таблицы, положительно. Чему равна сумма всех составляющих таблицу чисел?
Решение:
Обозначим сумму всех чисел таблицы буквой $S$; сумму всех чисел $i$-й строки (где $i = 1, 2, \cdots, 100$) - через $s_i$, сумму всех чисел $j$-го столбца (где $j = 1, 2, \cdots, 80$) - через $\sigma_j$; наконец, число, стоящее в пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, обозначим через $a_{ij}$. По условию задачи
$a_{ij} = s_i \sigma_j$, (*)
откуда
$s_i = a_{i1} + a_{i2} + \cdots + a_{i, 80} = s_i \sigma_1 + s_i \sigma_2 + \cdots + s_i \sigma_{80} = s_i (\sigma_1 + \sigma_2 + \cdots + \sigma_{80}) = s_iS (i = 1, \cdots, 100)$,
и, значит, либо $S = 1$, либо все $s_i = 0$. Но если $s_i = 0$ при всех $i = 1, \cdots, 100$, то, в силу (*), все элементы $a_{ij}$ нашей таблицы равны нулю. А так как, по условию задачи, «угловой» элемент $a_11 > 0$, то $S = 1$.
