Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2886
2019-05-06 
$n^2$ целых чисел от 1 до $n^2$ выписаны в квадратную таблицу размером $n \times n$: при этом число 1 стоит на любом месте в таблице; 2 принадлежит строке, порядковый номер которой равен номеру столбца, которому принадлежит 1; число 3 принадлежит строке, номер которой совпадает с номером столбца, содержащего число 2, и т. д. На сколько отличается сумма чисел строки, содержащей число 1, от суммы чисел столбца, содержащего число $n^2$?
Решение:
Условимся обозначать число, стоящее на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца таблицы, через $a_{ij}$; в таком случае $a_{ij} = 1, \cdots, n^2$, где $i,j = 1, \cdots, n$. Пусть теперь $l = a_{jj_2}$ ; тогда по условию задачи $2 = a_{j_2j_2}, 3 = a_{j_3j_4}$ и т. д. - вплоть до $n^2 = a_{j_n}j_{n^2 + 1}$. При этом числа $j_1, j_2, j_3, \cdots, j_{n^2+1}$ разумеется, не все различны: ведь они могут иметь лишь $n$ различных значений $1, 2, \cdots, n$. Заметим, что каждое конкретное значение $к$ встречается в ряду чисел $j_1, j_2, j_2, j_3, j_3, \cdots, j_{n^2}, j_{n^2}, j_{n^2+1}$ ровно $2n$ раз, поскольку наша таблица содержит $n$ чисел в $k$-й строке и $n$ чисел в $k$-м столбце. А так как «внутри» цепочки $j_1, j_2, j_2, j_3, \cdots, j_{n^2}, j_{n^2+1}$ (т. е. не на первом и не на последнем месте) каждое число повторяется дважды, то из того, что значение $j_1$ должно входить в цепочку четное число $2n$ раз, следует, что $j_{n^2+1} = j_1$ - наша цепочка обязательно завершается тем же числом $j_1$, которым она начиналась.
Таким образом, задача требует оценить разность между суммой чисел $j_1$-й строки таблицы и суммой чисел $j_1$-го ее столбца - столбца, номер которого совпадает с номером рассматриваемой строки. Но, в силу правила образования таблицы, если $a_{jj_1} = s$ (где $j \neq j_n$ и, следовательно, пара ($j, j_1$, $i$) не является в нашей цепочке последней, т. е. $s \neq n^2$), то $s+1 = a_{j_1j_2}$ другими словами, каждому отличному от $n^2$ числу $s$ из $j_1$-го столбца отвечает в $j_1$-й строке число $s+1$. При этом полученные таким путем числа $s+1 = a_{j_1j_2}$ - это все числа $j_1$-й строки, кроме одного лишь числа 1 (которое, очевидно, не может следовать ни за каким из чисел $j_1$-го столбца, поскольку является самым малым в таблице); поэтому, если обозначить отличные от $n^2$ числа $j_1$-го столбца через $s_1, s_2, \cdots, s_{n-1}$, то отличные от 1 числа $j_1$-й строки будут равны $s_1 + 1, s_2 = 1, \cdots, s_{n-1} + 1$. А отсюда уже следует, что разность между суммой чисел $j$-го столбца и суммой чисел $j$-й строки будет равна:
$(s_1 + s_2 + \cdots + s_{n-1} + n^2) - [(s_1 + 1) + (s_2 + 1) + \cdots + (s_{n-1} + 1) + 1] = n^2 - n$.
$n^2$ целых чисел от 1 до $n^2$ выписаны в квадратную таблицу размером $n \times n$: при этом число 1 стоит на любом месте в таблице; 2 принадлежит строке, порядковый номер которой равен номеру столбца, которому принадлежит 1; число 3 принадлежит строке, номер которой совпадает с номером столбца, содержащего число 2, и т. д. На сколько отличается сумма чисел строки, содержащей число 1, от суммы чисел столбца, содержащего число $n^2$?
Решение:
Условимся обозначать число, стоящее на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца таблицы, через $a_{ij}$; в таком случае $a_{ij} = 1, \cdots, n^2$, где $i,j = 1, \cdots, n$. Пусть теперь $l = a_{jj_2}$ ; тогда по условию задачи $2 = a_{j_2j_2}, 3 = a_{j_3j_4}$ и т. д. - вплоть до $n^2 = a_{j_n}j_{n^2 + 1}$. При этом числа $j_1, j_2, j_3, \cdots, j_{n^2+1}$ разумеется, не все различны: ведь они могут иметь лишь $n$ различных значений $1, 2, \cdots, n$. Заметим, что каждое конкретное значение $к$ встречается в ряду чисел $j_1, j_2, j_2, j_3, j_3, \cdots, j_{n^2}, j_{n^2}, j_{n^2+1}$ ровно $2n$ раз, поскольку наша таблица содержит $n$ чисел в $k$-й строке и $n$ чисел в $k$-м столбце. А так как «внутри» цепочки $j_1, j_2, j_2, j_3, \cdots, j_{n^2}, j_{n^2+1}$ (т. е. не на первом и не на последнем месте) каждое число повторяется дважды, то из того, что значение $j_1$ должно входить в цепочку четное число $2n$ раз, следует, что $j_{n^2+1} = j_1$ - наша цепочка обязательно завершается тем же числом $j_1$, которым она начиналась.
Таким образом, задача требует оценить разность между суммой чисел $j_1$-й строки таблицы и суммой чисел $j_1$-го ее столбца - столбца, номер которого совпадает с номером рассматриваемой строки. Но, в силу правила образования таблицы, если $a_{jj_1} = s$ (где $j \neq j_n$ и, следовательно, пара ($j, j_1$, $i$) не является в нашей цепочке последней, т. е. $s \neq n^2$), то $s+1 = a_{j_1j_2}$ другими словами, каждому отличному от $n^2$ числу $s$ из $j_1$-го столбца отвечает в $j_1$-й строке число $s+1$. При этом полученные таким путем числа $s+1 = a_{j_1j_2}$ - это все числа $j_1$-й строки, кроме одного лишь числа 1 (которое, очевидно, не может следовать ни за каким из чисел $j_1$-го столбца, поскольку является самым малым в таблице); поэтому, если обозначить отличные от $n^2$ числа $j_1$-го столбца через $s_1, s_2, \cdots, s_{n-1}$, то отличные от 1 числа $j_1$-й строки будут равны $s_1 + 1, s_2 = 1, \cdots, s_{n-1} + 1$. А отсюда уже следует, что разность между суммой чисел $j$-го столбца и суммой чисел $j$-й строки будет равна:
$(s_1 + s_2 + \cdots + s_{n-1} + n^2) - [(s_1 + 1) + (s_2 + 1) + \cdots + (s_{n-1} + 1) + 1] = n^2 - n$.
