Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2885
2019-05-06 
Квадратная таблица из $n^2$ клеток заполнена целыми числами от 1 до и так, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы встречаются все числа от 1 до $n$. Доказать, что если таблица симметрична относительно диагонали, ведущей из ее левого верхнего угла в правый нижний угол, и $n$ нечетно, то на этой диагонали встретятся все числа от 1 до $n$. Будет ли верно это утверждение также и в том случае, когда $n$ четно?
Решение:
Пусть $n$ нечетно. Если наша таблица симметрична относительно указанной в условии диагонали (эту диагональ мы будем называть «главной» и обозначать буквой $d$), то каждому числу, расположенному сверху от $d$, будет отвечать равное ему число, расположенное снизу от $d$: это число занимает место, симметричное относительно $d$ месту, на котором стоит первое число. Отсюда следует, что совокупность всех расположенных сверху от $d$ чисел совпадает с совокупностью чисел, расположенных снизу от $d$ поэтому, в совокупности всех не принадлежащих диагонали $d$ чисел нашей таблицы любое число $k$ встречается четное число $a_k$, раз (возможно, что $a_k = 0$). А так как в каждой из $n$ строк таблицы каждое число $k$ встречается точно один раз (ибо $n$ мест этой строки занимают $n$ чисел $1, 2, \cdots, n$), то всего число $к$ встречается в нашей таблице нечетное число $n$ раз; поэтому на диагонали $d$ число $к$ встретится нечетное число $n - a_k$ раз. Отсюда следует, что каждое число $к$ (где $1 \leq k \leq n$) хотя бы раз встретится на диагонали $d$ (ибо нуль - число четное), а так как эта диагональ содержит всего $n$ чисел, то каждое из чисел $1, 2, \cdots, n$ встретится на ней ровно один раз. [Отсюда, в частности, вытекает, что $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = n - 1$.]
Пример таблицы $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ показывает, что при $n$ четном сформулированное утверждение может не выполняться; близкие к приведенным выше рассуждения показывают, что при $n$ четном оно даже не может выполняться (ибо в этом случае каждое число $к$ встретится на главной диагонали $d$ четное число $n - a_k$ раз).
Квадратная таблица из $n^2$ клеток заполнена целыми числами от 1 до и так, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы встречаются все числа от 1 до $n$. Доказать, что если таблица симметрична относительно диагонали, ведущей из ее левого верхнего угла в правый нижний угол, и $n$ нечетно, то на этой диагонали встретятся все числа от 1 до $n$. Будет ли верно это утверждение также и в том случае, когда $n$ четно?
Решение:
Пусть $n$ нечетно. Если наша таблица симметрична относительно указанной в условии диагонали (эту диагональ мы будем называть «главной» и обозначать буквой $d$), то каждому числу, расположенному сверху от $d$, будет отвечать равное ему число, расположенное снизу от $d$: это число занимает место, симметричное относительно $d$ месту, на котором стоит первое число. Отсюда следует, что совокупность всех расположенных сверху от $d$ чисел совпадает с совокупностью чисел, расположенных снизу от $d$ поэтому, в совокупности всех не принадлежащих диагонали $d$ чисел нашей таблицы любое число $k$ встречается четное число $a_k$, раз (возможно, что $a_k = 0$). А так как в каждой из $n$ строк таблицы каждое число $k$ встречается точно один раз (ибо $n$ мест этой строки занимают $n$ чисел $1, 2, \cdots, n$), то всего число $к$ встречается в нашей таблице нечетное число $n$ раз; поэтому на диагонали $d$ число $к$ встретится нечетное число $n - a_k$ раз. Отсюда следует, что каждое число $к$ (где $1 \leq k \leq n$) хотя бы раз встретится на диагонали $d$ (ибо нуль - число четное), а так как эта диагональ содержит всего $n$ чисел, то каждое из чисел $1, 2, \cdots, n$ встретится на ней ровно один раз. [Отсюда, в частности, вытекает, что $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = n - 1$.]
Пример таблицы $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ показывает, что при $n$ четном сформулированное утверждение может не выполняться; близкие к приведенным выше рассуждения показывают, что при $n$ четном оно даже не может выполняться (ибо в этом случае каждое число $к$ встретится на главной диагонали $d$ четное число $n - a_k$ раз).
