ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Числа $1, 2, 3, \cdots n^2$ расположены в виде квадратной таблицы:

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
n+1 & n+2 & n+3 & \cdots & 2n \\
2n+1 & 2n+2 & 2n+3 & \cdots & 3n \\
\cdots
(n-1) n+1 & (n-1) n+2 & (n-1) n+3 & \cdots & n^2
\end{bmatrix}$

Из этой таблицы выбирается произвольное число, а строка и столбец, содержащие это число, вычеркиваются. Затем из оставшихся чисел снова выбирается одно число, и снова вычеркиваются cтрока и столбец, содержащие это число, - и так до тех пор, пока в таблице не останется единственное число,которое автоматически попадает в число отобранных. Чему равна сумма всех выбранных таким путем чисел?


Решение:


Первую строку таблицы можно переписать так: $0+1, 0+2, \cdots, 0+n$ последний столбец запишем в виде: $0+n, n+n, 2n+n, \cdots, (n-1)n + n$. Каждое число таблицы представлено теперь в виде суммы двух чисел, причем первое слагаемое одинаково у всех чисел, стоящих в одной строке, а второе - у всех чисел одного столбца. Так как среди выбранных чисел будет по одному слагаемому из каждого столбца и по одному слагаемому из каждой строки, то сумма всех первых слагаемых выбранных чисел равна

$0 + n + 2n + \cdots + (n-1)n = \frac {n^2(n-1)}{2}$,

а сумма вторых слагаемых -

$1 + 2 + \cdots + n = \frac {n(n+1)}{2}$.

Таким образом, общая сумма $S$ всех отобранных чисел равна

$S = \frac {n(n^2 - n)}{2} + \frac {n(n+1)}{2} = \frac {n(n^2+1)}{2}$.