Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2883
2019-05-06 
Целочисленным треугольником называется треугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами. Найти все целочисленные треугольники, периметр каждого из которых равен его площади.
Решение:
По условию задачи имеем:
$\sqrt {p 9p-a)(p-b)(p-c)} = 2p$,
где $а$, $b$, $с$ - целые числа и $p = \frac{a+b+c}{2}$. Обозначим $p-a = x$, $p-b = y$, $p-c = z$ тогда будем иметь:
$\sqrt {(x+y+z)xyz} = 2 (x + y + z)$,
или, возведя обе части равенства в квадрат,
$xyz = 4(x+y+z)$.
Здесь $x$, $y$ и $z$ - или целые положительные числа, или же половины нечетных целых чисел. Но второй случай невозможен, так как тогда слева у нас стояло бы дробное число, а справа - целое. Итак, $x$, $y$ и $z$ - целые.
Пусть теперь $x \geq y \geq z$. Из нашего уравнения найдем, что
$x = \frac {4y + 4z}{yz - 4}$
следовательно, мы будем иметь:
$\frac {4y + 4z}{yz - 4} \geq y$.
Последнее неравенство можно умножить на $yz - 4$ (ясно, что $yz - 4 > 0$, ибо иначе $х$ было бы отрицательным) и рассматривать как квадратное неравенство относительно $у$:
$y^2z - 8y - 4z \leq 0$, т. е. $(y - y_1)(y - y_2) \leq 0$, (*)
где $y_1$ и $у_2$ - корни уравнения $zy^2 - 8y - 4z = 0$, зависящие, разумеется, от $z$:
$y_1 = \frac {4 + \sqrt {16 + 4z^2}}{z}, y_2 = \frac {4 - \sqrt {16 + 4z^2}}{z}$.
Но $y_2$ отрицательно и, значит, всегда $y - y_2 > 0$ (ибо $у$ положительно); следовательно, для того чтобы выполнялось неравенство (*), надо чтобы было
$y - y_1 \leq 0, y \leq \frac {4 + \sqrt {16 + 4z^2}}{z}$.
Итак, имеем $yz \leq 4 + \sqrt {16 + 4z^2}$ откуда и подавно $z^2 - 4 \leq \sqrt {16 + 4z^2}$ (ибо $z \leq y$). Возведя обе части в квадрат, получим:
$z^4 - 8z^2 + 16 \leq 16 + 4z^2; z^4 \leq 12z^2$,
что, очевидно, выполняется только при $z \leq 3$. Рассмотрим теперь ряд возможных случаев.
1°. $z = 1$, $y \leq \frac {4 + \sqrt {16+4}}{1} < 9$; , $x = \frac {4y + 4z}{yz - 4} = \frac {4y+4}{y-4}$
будет целым положительным только, если $y=5$ (в этом случае $х = 24$), $у = 6$ (в этом случае $х = 14$), $у = 8$ (в этом случае $х = 9$).
2°. $z = 2$, $y \leq \frac {4 + \sqrt {16 + 4}}{1} < 9$; $x = \frac {4y = 4z}{yz - 4} = \frac {4y + 8}{2y - 4} = \frac {2y+4}{y-2}$
будет целым и не меньшим $у$ только, если $y=3$ (в этом случае $х = 10$) и $у = 4$ (в этом случае $х = 6$).
3°. $z = 3$, $y \leq \frac {4 + \sqrt {16 = 4 \cdot 9}}{3} < 4$. При $z = y = 3 x = \frac {4y+4z}{yz - 4}$ не будет целым.
Итак, мы получили следующие пять решений задачи:
Целочисленным треугольником называется треугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами. Найти все целочисленные треугольники, периметр каждого из которых равен его площади.
Решение:
По условию задачи имеем:
$\sqrt {p 9p-a)(p-b)(p-c)} = 2p$,
где $а$, $b$, $с$ - целые числа и $p = \frac{a+b+c}{2}$. Обозначим $p-a = x$, $p-b = y$, $p-c = z$ тогда будем иметь:
$\sqrt {(x+y+z)xyz} = 2 (x + y + z)$,
или, возведя обе части равенства в квадрат,
$xyz = 4(x+y+z)$.
Здесь $x$, $y$ и $z$ - или целые положительные числа, или же половины нечетных целых чисел. Но второй случай невозможен, так как тогда слева у нас стояло бы дробное число, а справа - целое. Итак, $x$, $y$ и $z$ - целые.
Пусть теперь $x \geq y \geq z$. Из нашего уравнения найдем, что
$x = \frac {4y + 4z}{yz - 4}$
следовательно, мы будем иметь:
$\frac {4y + 4z}{yz - 4} \geq y$.
Последнее неравенство можно умножить на $yz - 4$ (ясно, что $yz - 4 > 0$, ибо иначе $х$ было бы отрицательным) и рассматривать как квадратное неравенство относительно $у$:
$y^2z - 8y - 4z \leq 0$, т. е. $(y - y_1)(y - y_2) \leq 0$, (*)
где $y_1$ и $у_2$ - корни уравнения $zy^2 - 8y - 4z = 0$, зависящие, разумеется, от $z$:
$y_1 = \frac {4 + \sqrt {16 + 4z^2}}{z}, y_2 = \frac {4 - \sqrt {16 + 4z^2}}{z}$.
Но $y_2$ отрицательно и, значит, всегда $y - y_2 > 0$ (ибо $у$ положительно); следовательно, для того чтобы выполнялось неравенство (*), надо чтобы было
$y - y_1 \leq 0, y \leq \frac {4 + \sqrt {16 + 4z^2}}{z}$.
Итак, имеем $yz \leq 4 + \sqrt {16 + 4z^2}$ откуда и подавно $z^2 - 4 \leq \sqrt {16 + 4z^2}$ (ибо $z \leq y$). Возведя обе части в квадрат, получим:
$z^4 - 8z^2 + 16 \leq 16 + 4z^2; z^4 \leq 12z^2$,
что, очевидно, выполняется только при $z \leq 3$. Рассмотрим теперь ряд возможных случаев.
1°. $z = 1$, $y \leq \frac {4 + \sqrt {16+4}}{1} < 9$; , $x = \frac {4y + 4z}{yz - 4} = \frac {4y+4}{y-4}$
будет целым положительным только, если $y=5$ (в этом случае $х = 24$), $у = 6$ (в этом случае $х = 14$), $у = 8$ (в этом случае $х = 9$).
2°. $z = 2$, $y \leq \frac {4 + \sqrt {16 + 4}}{1} < 9$; $x = \frac {4y = 4z}{yz - 4} = \frac {4y + 8}{2y - 4} = \frac {2y+4}{y-2}$
будет целым и не меньшим $у$ только, если $y=3$ (в этом случае $х = 10$) и $у = 4$ (в этом случае $х = 6$).
3°. $z = 3$, $y \leq \frac {4 + \sqrt {16 = 4 \cdot 9}}{3} < 4$. При $z = y = 3 x = \frac {4y+4z}{yz - 4}$ не будет целым.
Итак, мы получили следующие пять решений задачи:
