Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2882
2019-05-06 
В шахматном турнире участвовали ученики 9-го и 10-го классов. Каждый участник, играл с каждым другим один раз. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, а они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько учеников 9-го класса участвовало в турнире и сколько они набрали очков?
Решение:
Пусть девятиклассников было $n$ и набрали они $m$ очков. Тогда десятиклассников было $10n$ и набрали они $4,5m$ очков. Всех же участников турнира было $11n$ и набрали они $5,5m$ очков.
Общее число набранных всеми очков равно числу сыгранных партий. Партий сыграно было $\frac {11n (11n - 1)}{2}$. Отсюда
$5,5m = \frac {11n (11n - 1)}{2}$
и, следовательно,
$m = n(11n - 1)$.
Каждый девятиклассник сыграл $11n - 1$ партий (ибо число участников турнира равно $11n$), а потому $n$ девятиклассников могли набрать $n(11n-1)$ очков только в случае, если каждый из них выиграл все партии. Это возможно лишь при $n = 1$ (так как два девятиклассника не могут одновременно выиграть друг у друга). Итак, получаем единственное решение $n = 1$, $m = 10$.
В шахматном турнире участвовали ученики 9-го и 10-го классов. Каждый участник, играл с каждым другим один раз. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, а они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько учеников 9-го класса участвовало в турнире и сколько они набрали очков?
Решение:
Пусть девятиклассников было $n$ и набрали они $m$ очков. Тогда десятиклассников было $10n$ и набрали они $4,5m$ очков. Всех же участников турнира было $11n$ и набрали они $5,5m$ очков.
Общее число набранных всеми очков равно числу сыгранных партий. Партий сыграно было $\frac {11n (11n - 1)}{2}$. Отсюда
$5,5m = \frac {11n (11n - 1)}{2}$
и, следовательно,
$m = n(11n - 1)$.
Каждый девятиклассник сыграл $11n - 1$ партий (ибо число участников турнира равно $11n$), а потому $n$ девятиклассников могли набрать $n(11n-1)$ очков только в случае, если каждый из них выиграл все партии. Это возможно лишь при $n = 1$ (так как два девятиклассника не могут одновременно выиграть друг у друга). Итак, получаем единственное решение $n = 1$, $m = 10$.
