Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2881
2019-05-06 
В шахматном турнире участвовали два ученика 7-го класса и некоторое число учеников 8-го класса. Каждый участник играл с каждым другим один раз. Два семиклассника набрали вместе 8 очков, а все восьмиклассники набрали одинаковое число очков (в турнире каждому участнику sa выигранную партию засчитывается 1 очко, а за партию, окончившуюся вничью, 1/2 очка). Сколько восьмиклассников участвовало в турнире?
Решение:
Пусть $n$ - число восьмиклассников, $m$ - число очков, набранных каждым из них. В таком случае число очков, набранных всеми участниками турнира, равно $mn+8$. Это число равно числу сыгранных партий. Так как участников турнира $n+2$ и каждый играл по одному разу с каждым из $n+1$ остальных, то ими всего было сыграно $\frac {(n+2)(n+1)}{2}$-партий (в произведении $(n+2)(n+1)$) каждая партия учитывается 2 раза). Таким образом, мы получаем:
$mn + 8 = \frac {(n+2)(n+1)}{2}$,
или, после несложных преобразований,
$n(n+3-2m) = 14$.
Здесь $n$ - целое число; число в скобках - также целое (ибо $m$ - либо целое, либо дробь с знаменателем 2).
Так как $n$ - делитель 14, то $n$ может быть равно одному из чисел 1, 2, 7, 14. Значения $n = 1$ и $n = 2$ мы должны отбросить, так как в этом случае общее число участников не превышает 4 и два семиклассника не могли бы набрать вдвоем 8 очков.
Остается $n = 7$ и $n = 14$.
Если $n = 7$, то $7(7+3_2m) = 14$; $m = 4$.
Если $n = 14$, то $14(14+3-2m) = 14$; $m = 8$.
Ответ: 7 или 14.
В шахматном турнире участвовали два ученика 7-го класса и некоторое число учеников 8-го класса. Каждый участник играл с каждым другим один раз. Два семиклассника набрали вместе 8 очков, а все восьмиклассники набрали одинаковое число очков (в турнире каждому участнику sa выигранную партию засчитывается 1 очко, а за партию, окончившуюся вничью, 1/2 очка). Сколько восьмиклассников участвовало в турнире?
Решение:
Пусть $n$ - число восьмиклассников, $m$ - число очков, набранных каждым из них. В таком случае число очков, набранных всеми участниками турнира, равно $mn+8$. Это число равно числу сыгранных партий. Так как участников турнира $n+2$ и каждый играл по одному разу с каждым из $n+1$ остальных, то ими всего было сыграно $\frac {(n+2)(n+1)}{2}$-партий (в произведении $(n+2)(n+1)$) каждая партия учитывается 2 раза). Таким образом, мы получаем:
$mn + 8 = \frac {(n+2)(n+1)}{2}$,
или, после несложных преобразований,
$n(n+3-2m) = 14$.
Здесь $n$ - целое число; число в скобках - также целое (ибо $m$ - либо целое, либо дробь с знаменателем 2).
Так как $n$ - делитель 14, то $n$ может быть равно одному из чисел 1, 2, 7, 14. Значения $n = 1$ и $n = 2$ мы должны отбросить, так как в этом случае общее число участников не превышает 4 и два семиклассника не могли бы набрать вдвоем 8 очков.
Остается $n = 7$ и $n = 14$.
Если $n = 7$, то $7(7+3_2m) = 14$; $m = 4$.
Если $n = 14$, то $14(14+3-2m) = 14$; $m = 8$.
Ответ: 7 или 14.
