ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
а) Найти все целые положительные, не равные между собой числа $x, у$, удовлетворяющие уравнению

$x^y = y^x$.

б) Найти все рациональные положительные, не равные между собой числа $x, у$, удовлетворяющие уравнению

$x^y = y^x$

(указать формулу, дающую все решения).


Решение:


а) Из равенства $x^y = y^x$ видно, что простые делители чисел $x$ и $у$ - одни и те же:

$x = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_n^{\alpha_n}$, $y = p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2} \cdots p_n^{\beta_n}$.

где $p_1, p_2, \cdots, p_n$ - простые числа. Тогда, ввиду нашего равенства,

$\alpha_1y = \beta_1x, \alpha_2y = \beta_2x, \cdots, \alpha_n y = \beta_n x$.

Будем считать, что $y > x$; тогда из написанных равенств следует, что

$\alpha_1 < \beta_1, \alpha_2 < \beta_2, \cdots, \alpha_n < \beta_n$.

Следовательно, $у$ делится на $x, y = kx$, где $к$ - целое. Подставим это значение $у$ в наше равенство:

$x^{kx} = (kx)^x$.

Отсюда, извлекая корень $x$-й степени, получим:

$x^k = kx$, или $x^{k-1} = k$.

Так как $y > x$, то $k > 1$, откуда $x > 1$. Но легко видеть, что $2^{2-1} = 2$, а при $x > 2$ или $k > 2$ всегда $x^{k-1} > k$. Действительно, при $k > 2, x \geq 2$,

$x^{k-1} \geq 2^{k-1} > k$,

так как уже $2^{3-1} > 3$ а при $k = 2, x > 2$,

$x^{k-1} = x > 2 = k$.

Поэтому единственным решением нашего уравнения в целых положительных числах будет $x = 2$, $k = 2$, $y = kx = 4$.

б) Обозначим отношение $\frac{y}{x}$ через $k$ тогда $y = kx$. Подставляя это выражение для $у$ в наше уравнение, получим:

$x^{kx} = (kx)^x$,

или извлекая из обеих частей корень степени $x$ и затем деля на $x$,

$x^{k-1} = k$,

откуда

$x = k^{ \frac{1}{k-1}}$, $y = kk^{ \frac{1}{k-1}} = k^{ \frac{k}{k-1}}$.

Пусть рациональное число $\frac{1}{k-1}$ равно несократимой дроби $\frac{p}{q}$. Подставляя это выражение для $\frac{1}{k-1}$ в наши формулы, получим:

$k - 1 = \frac{q}{p}$, $k = 1 + \frac{q}{p} = \frac{p+q}{p}$, $ \frac{k}{k-1} = \frac{p+q}{q}$;
$x = \left ( \frac{p+q}{p} \right )^{ \frac{p}{q}}$, $y = \left ( \frac{p+q}{p} \right )^{ \frac{p+q}{q}}$

Так как $p$ и $q$ взаимно просты, то, для того чтобы $x$ и $у$ были рациональными числами, необходимо, очевидно, чтобы из целых чисел $p$ и $p+q$ можно было извлечь корень степени $q$. Но так как при $q \geq 2$ и $p = n^q$ будет иметь место неравенство

$n^q < p+q < (n+1)^q = n^q + qn^{q-1} + \frac{q(q-1)}{2} n^{q-2} + \cdots$,

то это возможно только при $q = 1$.

Итак, все положительные рациональные числа, удовлетворяющие нашему уравнению, даются формулой

$x = \left ( \frac{p+1}{p} \right )^p$, $y = \left ( \frac{p+1}{p} \right )^{p+1}$,

где $р$ - произвольное целое число (кроме 0 и - 1).