Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 288
2014-06-07 
Из всех треугольников заданного периметра найти такой, у которого радиус Вписанной окружности максимален.
Решение:
Пусть a, b, с - стороны треугольника с заданным полупериметром p, S - его площадь, а r - радиус вписанной окружности. Тогда по теореме о средних имеем
$(rp)^{2} = S^{2} = p(p - 1)(p - b)(p - c) \leq p \left ( \frac{(p - a) + (p - b) + (p - c)}{3} \right )^{3} = \frac{p^{4}}{27}$,
откуда $r \leq p/ \sqrt{27}$, причем наибольшее значение величина r принимает в случае p – a = p – b = р - с, т. е. когда треугольник правильный.
Из всех треугольников заданного периметра найти такой, у которого радиус Вписанной окружности максимален.
Решение:
Пусть a, b, с - стороны треугольника с заданным полупериметром p, S - его площадь, а r - радиус вписанной окружности. Тогда по теореме о средних имеем
$(rp)^{2} = S^{2} = p(p - 1)(p - b)(p - c) \leq p \left ( \frac{(p - a) + (p - b) + (p - c)}{3} \right )^{3} = \frac{p^{4}}{27}$,
откуда $r \leq p/ \sqrt{27}$, причем наибольшее значение величина r принимает в случае p – a = p – b = р - с, т. е. когда треугольник правильный.
