Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2879
2019-05-06 
а) Доказать, что уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$, где $n > 1$ - натуральное число, имеет при $n$ простом ровно три решения в натуральных числах $х, у$ (где решения $x = a, y = b$ и $x = b, y=a$ при $a \neq b$ считаются различными), а при составном $n$ - более трех решений.
б) Найти все решения в целых числах уравнения задачи а) при $n = 14$.
в)* Решить в целых числах $х, у, z$ уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ (указать формулы, дающие все решения).
Решение:
а) Из уравнения, очевидно, следует, что $x, y > n$; положим $x = n + x_1$, $y = n + y_1$ в таком случае наше уравнение преобразуется так:
$\frac{1}{n+x_1} + \frac{1}{n+x_1} = \frac{1}{n}$ или $(n^2 + nx_1) + (n^2 + ny_1) = n^2 + nx_1 + ny_1 + x_1y_1$, т. е. $x_1y_1 = n^2$. (*)
Но ясно, что при $n$ простом равенство (*) допускает лишь три решения в натуральных числах ($x_1$ $у_1$), а именно $(x_1, y_1) = (n, n)$, или $(1, n^2)$, или $(n^2, 1)$, что приводит к трем решениям исходного уравнения:
$(x,y) = (2n, 2n), (n+1, n(n+1)), (n(n+1), n+1)$. (**)
Если же $n = ab$ - составное, то возможно также, скажем, решение $(x_1, y_1) = (a^2, b^2)$, что дает отличные от (**) значения $х$ и $у$.
б) Если $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ , то, избавляясь от знаменателя дроби, мы получим:
$nx + ny = xy$,
что равносильно
$(x-n)(y-n) = n^2$
(ср. с решением задачи а)). Последнее уравнение имеет $2v-1$ решений в целых числах, где $v$ есть число делителей числа $n^2$ (включая 1 и само число $n^2$): для того чтобы получить все эти решения, надо выписать $2v$ возможных систем вида $x-n=d$, $y - n = \frac{n^2}{d}$ и $x - n = -d$ , $y - n = - \frac{n^2}{d}$ (где $d$ есть делитель числа $n^2$), кроме системы $x - n = -n$, $y - n = -n$, которая приводит к абсурдному в условиях данной задачи результату: $x=0$, $y = 0$.
Если $n = 14$, то $n^2 = 196$ и делители числа $n^2 = 196$ имеют вид:
1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196.
Соответственно этому мы получаем следующие 17 решений нашего уравнения:
$x \: 15\: 16\: 18\: 21\: 28\: 42\: 63\: 112\: 210\: 13\: 12$
$y \: 210\: 112\: 63\: 42\: 28\: 21 \: 18\: 16\: 15\: -182\: -84$
$x \:10\: 7\: -14\: -35\: -84\: -182$
$y \:-35\: -14\: 7\: 10\: 12\: 13$
в) Заданное уравнение можно привести к виду
$(x-z)(y-z) = z^2$ (*)
(см. решение задачи а)). Пусть теперь $t$ есть общий наибольший делитель трех чисел $х$, $у$ и $z$, т. е. $x = x_1t$, $z = z_1t$, где $x_1$, $у_1$ и $z_1$ взаимно просты. Далее обозначим через $m$ общий наибольший делитель чисел $x_1$ и $z_1$ и через $n$ - общий наибольший делитель чисел $y_1$ и $z_1$, т. е, положим $x_1 = mx_2, z_1 = mz_2; y_1 = ny_2, z_1 = zn_2$, где $x_2$ и $z_2$, $у_2$ и $z_2$ взаимно просты. Числа $m$ и $n$ взаимно просты, ибо $x_1$, $у_1$ и $z_1$ взаимно просты. Так как $z_1$ делится и на $m$, и на $n$, то можем положить $z_1 = mnp$.
Подставим теперь в основное уравнение (*) $x = mx_2t$, $y = ny_2t$, $z = mnpt$. По сокращении на $mnt^2$ будем иметь:
$(x_2 - np)(y_2 - mp) = mnp^2$. (**)
Но $x_2$ взаимно просто с $р$, ибо $m$ есть общий наибольший делитель чисел $x_1 = mx_2$ и $z_1 = mnp$; аналогично $у_2$ взаимно просто с $р$. По раскрытии же скобок в уравнении (**) мы получаем, что $x_2y_2 = x_2mp + y_2np$ делится на $р$. Отсюда следует, что $p=1$, и наше уравнение принимает вид
$(x_2 - n)(y_2 - m) = mn$.
$x_2$ взаимно просто с $n$, ибо три числа $x_1 = mx_2$, $y_1 = ny_2$ и $z_1 = mn$ взаимно просты. Следовательно, $x_2 - n$ взаимно просто с $n$, а следовательно, $y_2 - m$ делится на $n$. Аналогично $x_2 - n$ делится на $m$. Таким образом, $x_2 - n = \pm m$, $y_2 - m = \pm n$; $x_2 = \pm y_2 = \pm m + n$ и, следовательно,
$x = m(m+n)t, y = \pm n(m+n)t, z = mnt$,
где $m$, $n$, $t$ - произвольные целые числа.
а) Доказать, что уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$, где $n > 1$ - натуральное число, имеет при $n$ простом ровно три решения в натуральных числах $х, у$ (где решения $x = a, y = b$ и $x = b, y=a$ при $a \neq b$ считаются различными), а при составном $n$ - более трех решений.
б) Найти все решения в целых числах уравнения задачи а) при $n = 14$.
в)* Решить в целых числах $х, у, z$ уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ (указать формулы, дающие все решения).
Решение:
а) Из уравнения, очевидно, следует, что $x, y > n$; положим $x = n + x_1$, $y = n + y_1$ в таком случае наше уравнение преобразуется так:
$\frac{1}{n+x_1} + \frac{1}{n+x_1} = \frac{1}{n}$ или $(n^2 + nx_1) + (n^2 + ny_1) = n^2 + nx_1 + ny_1 + x_1y_1$, т. е. $x_1y_1 = n^2$. (*)
Но ясно, что при $n$ простом равенство (*) допускает лишь три решения в натуральных числах ($x_1$ $у_1$), а именно $(x_1, y_1) = (n, n)$, или $(1, n^2)$, или $(n^2, 1)$, что приводит к трем решениям исходного уравнения:
$(x,y) = (2n, 2n), (n+1, n(n+1)), (n(n+1), n+1)$. (**)
Если же $n = ab$ - составное, то возможно также, скажем, решение $(x_1, y_1) = (a^2, b^2)$, что дает отличные от (**) значения $х$ и $у$.
б) Если $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ , то, избавляясь от знаменателя дроби, мы получим:
$nx + ny = xy$,
что равносильно
$(x-n)(y-n) = n^2$
(ср. с решением задачи а)). Последнее уравнение имеет $2v-1$ решений в целых числах, где $v$ есть число делителей числа $n^2$ (включая 1 и само число $n^2$): для того чтобы получить все эти решения, надо выписать $2v$ возможных систем вида $x-n=d$, $y - n = \frac{n^2}{d}$ и $x - n = -d$ , $y - n = - \frac{n^2}{d}$ (где $d$ есть делитель числа $n^2$), кроме системы $x - n = -n$, $y - n = -n$, которая приводит к абсурдному в условиях данной задачи результату: $x=0$, $y = 0$.
Если $n = 14$, то $n^2 = 196$ и делители числа $n^2 = 196$ имеют вид:
1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196.
Соответственно этому мы получаем следующие 17 решений нашего уравнения:
$x \: 15\: 16\: 18\: 21\: 28\: 42\: 63\: 112\: 210\: 13\: 12$
$y \: 210\: 112\: 63\: 42\: 28\: 21 \: 18\: 16\: 15\: -182\: -84$
$x \:10\: 7\: -14\: -35\: -84\: -182$
$y \:-35\: -14\: 7\: 10\: 12\: 13$
в) Заданное уравнение можно привести к виду
$(x-z)(y-z) = z^2$ (*)
(см. решение задачи а)). Пусть теперь $t$ есть общий наибольший делитель трех чисел $х$, $у$ и $z$, т. е. $x = x_1t$, $z = z_1t$, где $x_1$, $у_1$ и $z_1$ взаимно просты. Далее обозначим через $m$ общий наибольший делитель чисел $x_1$ и $z_1$ и через $n$ - общий наибольший делитель чисел $y_1$ и $z_1$, т. е, положим $x_1 = mx_2, z_1 = mz_2; y_1 = ny_2, z_1 = zn_2$, где $x_2$ и $z_2$, $у_2$ и $z_2$ взаимно просты. Числа $m$ и $n$ взаимно просты, ибо $x_1$, $у_1$ и $z_1$ взаимно просты. Так как $z_1$ делится и на $m$, и на $n$, то можем положить $z_1 = mnp$.
Подставим теперь в основное уравнение (*) $x = mx_2t$, $y = ny_2t$, $z = mnpt$. По сокращении на $mnt^2$ будем иметь:
$(x_2 - np)(y_2 - mp) = mnp^2$. (**)
Но $x_2$ взаимно просто с $р$, ибо $m$ есть общий наибольший делитель чисел $x_1 = mx_2$ и $z_1 = mnp$; аналогично $у_2$ взаимно просто с $р$. По раскрытии же скобок в уравнении (**) мы получаем, что $x_2y_2 = x_2mp + y_2np$ делится на $р$. Отсюда следует, что $p=1$, и наше уравнение принимает вид
$(x_2 - n)(y_2 - m) = mn$.
$x_2$ взаимно просто с $n$, ибо три числа $x_1 = mx_2$, $y_1 = ny_2$ и $z_1 = mn$ взаимно просты. Следовательно, $x_2 - n$ взаимно просто с $n$, а следовательно, $y_2 - m$ делится на $n$. Аналогично $x_2 - n$ делится на $m$. Таким образом, $x_2 - n = \pm m$, $y_2 - m = \pm n$; $x_2 = \pm y_2 = \pm m + n$ и, следовательно,
$x = m(m+n)t, y = \pm n(m+n)t, z = mnt$,
где $m$, $n$, $t$ - произвольные целые числа.
