ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Сумма обратных величин трех целых положительных чисел равна единице. Каковы эти числа?


Решение:


Прежде всего, устанавливаем, что хотя бы одно из трех чисел $x, y$, и $z$, таких, что

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$,

должно быть меньше 4: если бы все эти числа были $\geq 4$, то сумма $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ была бы $\leq \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Таким образом, если считать, что $x \leq y \leq z$, то для $x$ остаются возможными только два значения: $x = 2$ и $x = 3$ (ибо $x > 1$). Рассмотрим эти две возможности в отдельности.

1) $x = 2$; тогда $\frac{1}{y} = \frac{1}{z} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$. Приведя дроби к общему знаменателю и отбросив знаменатель, получим:

$yz - 2y - 2z = 0$, $yz - 2y - 2z + 4 = 4$, или $(y-2)(z-2) = 4$.

Так как $у$ и $z$ больше 1, то $y-2$ и $z-2$ не могут быть отрицательными и возможны только следующие случаи:

А) $y-2 = 2$, $z - 2 = 2$; $y = 4$, $z = 4$.
Б) $y - 2 = 1$, $z - 2 = 4$; $y = 3$, $z = 6$.
2) $x = 3$; тогда $\frac{1}{y} = \frac{1}{z} = 1 - \frac{1}{x} = \frac{2}{3}$ или

$2yz - 3y - 3z = 0$, $4yz - 6y - 6z + 9 = 9$, $(2y-3)(2z-3) = 9$.

Так как $y \geq x = 3$, $2y - 3 \geq 3$, $2z - 3 \geq 3$, то возможен только один случай:

$2y - 3 = 3$, $2z - 3 = 3$, $y = 3, z = 3$.

Таким образом, все решения задачи даются следующими равенствами:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$, $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.