Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2876
2019-05-06 
Найти четыре целых (положительных) числа таких, что квадрат каждого из них, сложенный с суммой трех остальных, тоже является полным квадратом.
Решение:
Задача состоит в том, чтобы решить в целых положительных числах следующую систему уравнений ($х, у, z$ и $u$ - искомые числа):
$x^2 + y + z + u = (x+v)^2$,
$y^2 + x + z + u = (y+w)^2$,
$z^2 + x + y + u = (z+t)^2$,
$u^2 + x + y + z = (u+s)^2$,
или
$\left.\begin{matrix} y + z + u = 2vx + v^2 \\ x + z + u = 2wy + w^2 \\ x + y + u = 2tz + t^2 \\ x + y + z = 2su + s^2 \end{matrix}\right\}$ (*)
Сложив все уравнения (*), получим:
$(2v - 3)x + (2w - 3)y + (2t - 3)z + (2s - 3)u + v^2 + w^2 + t^2 + s^2 = 0$. (**)
Отметим, прежде всего, что из равенства (**) следует, что хотя бы одно из чисел $2v - 3$, $2w - 3$, $2t - 3$, $2s - 3$ отрицательно, - иначе мы имели бы в левой части этого равенства сумму положительных чисел. Предположим, например, что $2v - 3 < 0$. Это возможно только в том случае, если $v = 0$ или $v = 1$. В первом случае первое уравнение системы (*) сразу дает $y + z + u = 0$, что невозможно, если $y, z, u$, и положительны. Поэтому надо считать, что все числа $v$, $w$, $t$ и $s$ положительны и $v = 1$. В таком случае равенство (**) перепишется в виде
$x = (2w - 3)y + (2t - 3) z + (2s - 3)u + w^2 + t^2 + s^2 + 1$. (***)
Рассмотрим теперь разные возможные случаи.
1°. Числа $х$, $у$, $z$, $u$ все попарно различны. В этом случае и числа $v$, $w$, $t$, $s$ все попарно различны; действительно, считая, например, что $v = w$, мы получим, вычитая друг из друга первые два равенства (*), $y - x = 2v (x-y)$, что невозможно при $v$ положительном и $x \neq y$. Далее, первое из равенств (*) в предположении $v = 1$ дает $2x = y + z + u - 1$, $x = 1/2 y + 1/2 z + 1/2 u - 1/2$, что несовместимо с равенством (***), где коэффициенты при $у$, $z$ и $u$ в правой части - целые положительные (ибо ($w$, $t$, $s$ не могут быть равны 1, так как они не равны $v$, a $v = 1$). Итак, этот случай является невозможным.
2°. Два из чисел $x$, $у$, $z$, $u$ равны между собой; остальные различны. Здесь надо отдельно рассмотреть два подслучая.
А) $z = u$. В этом случае $t = s$. Равенство (***) и первое уравнение (*) здесь принимают вид
$x = (2w - 3)y + 2(2t-3)z + w^2 + 2t^2 + 1$;
$2x = y + 2z - 1$;
эти равенства по-прежнему несовместимы.
Б) $x = y$. Здесь $w = v = 1$. Равенство (**) и первое из равенств (*) в этом случае соответственно имеют вид
$2x = (2t - 3)z + (2s - 3)u + t^2 + s^2 + 2$
и
$x = z + u - 1$.
Подставляя второе из этих равенств в первое, получим:
$(2t - 5)z + (2s - 5)u + t^2 + s^2 + 4 = 0$, (***)
откуда следует, что хотя бы одно из двух чисел $2t - 5$, $2s - 5$ должно быть отрицательным. Пусть $2t - 5 < 0$; так как $t > 0$ и $t \neq 1$ (ибо $v = 1$; $t \neq v$, так как $z \neq x$) то, следовательно, $t = 2$.
Теперь, прибавляя к третьему уравнению (*) удвоенное первое уравнение, находим $4z + 4x + 6 = 4x + 2z + 3u$, т. е. $z = \frac{3}{2}u - 3$.
Полагая в уравнении (****) $t = 2, z = \frac{3}{2}u - 3$, получим:
$(4s - 13)u + 2s^2 + 22 = 0$.
Отсюда ясно, что $4s - 13 < 0$. Так как $s > 0$, $s \neq 1$, $s \neq 2$, то, очевидно, $s = 3$. Подставляя все эти значения в уравнения (*), получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:
$x + z + u = 2x + 1$,
$2x + u = 4z + 4$,
$2x + z = 6u + 9$,
из которой без труда находим $x (=y) = 96$, $z = 57$, $u = 40$.
3°. Среди чисел $х$, $у$, $z$, $u$ имеются две пары попарно равных. Пусть, например, $x = y$, $z = u$. В таком случае первое уравнение (*) дает $x = 2z - 1$; подставляя этот результат в уравнение (**):
$x = (2t - 3)z = t^2 + 1$,
находим:
$(2t - 5)z + t^2 + 2 = 0$.
Отсюда следует, что $2t - 5 < 0$, или так как $t > 0$, $t \neq 1$, то $t = 2$. Теперь уравнения (*) принимают вид
$x + 2z = 2x + 1$,
$2x + z = 4z + 4$,
откуда $x (= y) = 11$, $z (= u) = 6$.
4°. Три из чисел $x$, $у$, $z$, $u$ равны между собой. Здесь тоже приходится отдельно рассматривать два подслучая.
А) $y = z = u$. В этом случае уравнение (***) и первое уравнение {*) принимают вид
$x = 3(2w-3)y + 3w^2 + 1$; $2x = 3y -1$
и, очевидно, являются несовместимыми.
Б) $x = y = z$. Первое уравнение (*) дает в рассматриваемом случае $2x + u = 2x + 1$, откуда $u = 1$; последнее уравнение (*) дает
$3x = 2su + s^2 = 2s + s^2$; $x = \frac {s(s+2)}{3}$.
Но $x$ - целое число; следовательно, или $s$ или $s+2$ должно делиться на 3, т. е. $s=3k$, $x = k(3k+2)$, или $s=3k-2$, $x=(3k-2)k$ здесь $k$ - произвольное целое число.
5°. Все числа $x$, $у$, $z$, $u$ равны между собой. В этом случае первое уравнение (*) сразу дает $3x = 2x+1, x = 1$.
Итак, мы получаем следующие решения задачи:
$x=y=96$, $z=57$, $u=40$; $x=y=11$, $z=u=6$
$x=y=z=k(3k \pm 2)$, $u=1$; $x=y=z=u=1$;
(случай $k=1$ и знака «-» в предшествующих формулах)
Найти четыре целых (положительных) числа таких, что квадрат каждого из них, сложенный с суммой трех остальных, тоже является полным квадратом.
Решение:
Задача состоит в том, чтобы решить в целых положительных числах следующую систему уравнений ($х, у, z$ и $u$ - искомые числа):
$x^2 + y + z + u = (x+v)^2$,
$y^2 + x + z + u = (y+w)^2$,
$z^2 + x + y + u = (z+t)^2$,
$u^2 + x + y + z = (u+s)^2$,
или
$\left.\begin{matrix} y + z + u = 2vx + v^2 \\ x + z + u = 2wy + w^2 \\ x + y + u = 2tz + t^2 \\ x + y + z = 2su + s^2 \end{matrix}\right\}$ (*)
Сложив все уравнения (*), получим:
$(2v - 3)x + (2w - 3)y + (2t - 3)z + (2s - 3)u + v^2 + w^2 + t^2 + s^2 = 0$. (**)
Отметим, прежде всего, что из равенства (**) следует, что хотя бы одно из чисел $2v - 3$, $2w - 3$, $2t - 3$, $2s - 3$ отрицательно, - иначе мы имели бы в левой части этого равенства сумму положительных чисел. Предположим, например, что $2v - 3 < 0$. Это возможно только в том случае, если $v = 0$ или $v = 1$. В первом случае первое уравнение системы (*) сразу дает $y + z + u = 0$, что невозможно, если $y, z, u$, и положительны. Поэтому надо считать, что все числа $v$, $w$, $t$ и $s$ положительны и $v = 1$. В таком случае равенство (**) перепишется в виде
$x = (2w - 3)y + (2t - 3) z + (2s - 3)u + w^2 + t^2 + s^2 + 1$. (***)
Рассмотрим теперь разные возможные случаи.
1°. Числа $х$, $у$, $z$, $u$ все попарно различны. В этом случае и числа $v$, $w$, $t$, $s$ все попарно различны; действительно, считая, например, что $v = w$, мы получим, вычитая друг из друга первые два равенства (*), $y - x = 2v (x-y)$, что невозможно при $v$ положительном и $x \neq y$. Далее, первое из равенств (*) в предположении $v = 1$ дает $2x = y + z + u - 1$, $x = 1/2 y + 1/2 z + 1/2 u - 1/2$, что несовместимо с равенством (***), где коэффициенты при $у$, $z$ и $u$ в правой части - целые положительные (ибо ($w$, $t$, $s$ не могут быть равны 1, так как они не равны $v$, a $v = 1$). Итак, этот случай является невозможным.
2°. Два из чисел $x$, $у$, $z$, $u$ равны между собой; остальные различны. Здесь надо отдельно рассмотреть два подслучая.
А) $z = u$. В этом случае $t = s$. Равенство (***) и первое уравнение (*) здесь принимают вид
$x = (2w - 3)y + 2(2t-3)z + w^2 + 2t^2 + 1$;
$2x = y + 2z - 1$;
эти равенства по-прежнему несовместимы.
Б) $x = y$. Здесь $w = v = 1$. Равенство (**) и первое из равенств (*) в этом случае соответственно имеют вид
$2x = (2t - 3)z + (2s - 3)u + t^2 + s^2 + 2$
и
$x = z + u - 1$.
Подставляя второе из этих равенств в первое, получим:
$(2t - 5)z + (2s - 5)u + t^2 + s^2 + 4 = 0$, (***)
откуда следует, что хотя бы одно из двух чисел $2t - 5$, $2s - 5$ должно быть отрицательным. Пусть $2t - 5 < 0$; так как $t > 0$ и $t \neq 1$ (ибо $v = 1$; $t \neq v$, так как $z \neq x$) то, следовательно, $t = 2$.
Теперь, прибавляя к третьему уравнению (*) удвоенное первое уравнение, находим $4z + 4x + 6 = 4x + 2z + 3u$, т. е. $z = \frac{3}{2}u - 3$.
Полагая в уравнении (****) $t = 2, z = \frac{3}{2}u - 3$, получим:
$(4s - 13)u + 2s^2 + 22 = 0$.
Отсюда ясно, что $4s - 13 < 0$. Так как $s > 0$, $s \neq 1$, $s \neq 2$, то, очевидно, $s = 3$. Подставляя все эти значения в уравнения (*), получаем систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:
$x + z + u = 2x + 1$,
$2x + u = 4z + 4$,
$2x + z = 6u + 9$,
из которой без труда находим $x (=y) = 96$, $z = 57$, $u = 40$.
3°. Среди чисел $х$, $у$, $z$, $u$ имеются две пары попарно равных. Пусть, например, $x = y$, $z = u$. В таком случае первое уравнение (*) дает $x = 2z - 1$; подставляя этот результат в уравнение (**):
$x = (2t - 3)z = t^2 + 1$,
находим:
$(2t - 5)z + t^2 + 2 = 0$.
Отсюда следует, что $2t - 5 < 0$, или так как $t > 0$, $t \neq 1$, то $t = 2$. Теперь уравнения (*) принимают вид
$x + 2z = 2x + 1$,
$2x + z = 4z + 4$,
откуда $x (= y) = 11$, $z (= u) = 6$.
4°. Три из чисел $x$, $у$, $z$, $u$ равны между собой. Здесь тоже приходится отдельно рассматривать два подслучая.
А) $y = z = u$. В этом случае уравнение (***) и первое уравнение {*) принимают вид
$x = 3(2w-3)y + 3w^2 + 1$; $2x = 3y -1$
и, очевидно, являются несовместимыми.
Б) $x = y = z$. Первое уравнение (*) дает в рассматриваемом случае $2x + u = 2x + 1$, откуда $u = 1$; последнее уравнение (*) дает
$3x = 2su + s^2 = 2s + s^2$; $x = \frac {s(s+2)}{3}$.
Но $x$ - целое число; следовательно, или $s$ или $s+2$ должно делиться на 3, т. е. $s=3k$, $x = k(3k+2)$, или $s=3k-2$, $x=(3k-2)k$ здесь $k$ - произвольное целое число.
5°. Все числа $x$, $у$, $z$, $u$ равны между собой. В этом случае первое уравнение (*) сразу дает $3x = 2x+1, x = 1$.
Итак, мы получаем следующие решения задачи:
$x=y=96$, $z=57$, $u=40$; $x=y=11$, $z=u=6$
$x=y=z=k(3k \pm 2)$, $u=1$; $x=y=z=u=1$;
(случай $k=1$ и знака «-» в предшествующих формулах)
