Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2875
2019-05-06 
Доказать, что уравнение $x^2 + x + 1 = py$ имеет решения в целых числах $x, у$ для бесконечно многих простых значений коэффициента $p$.
Решение:
Воспользуемся методом доказательства от противного: предположим, что выписанное в условии задачи уравнение имеет решения в целых $x$ и $у$ лишь для конечного числа простых значений $p$ и что наибольшим из них является $n$-е простое число $p_n$. Составим теперь число $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cdots \cdot p_n = x$ и рассмотрим выражение $X = x^2 + x + 1$. Так как число $X - 1 = x^2 + x = x(x+1)$ делится на все простые числа $2,3,4, \cdots, p_n$, то число $X$ не может делиться ни на одно из них; поэтому число $X$ имеет больший $p_n$ простой делитель $P$, т. е. $X = P_y$, где $у$ - некоторое натуральное число. (Здесь не исключен, разумеется, случай $P = X$, $у = 1$.) Таким образом, для $p = p$ наше уравнение имеет решение $x, у$ в целых числах, что противоречит предположению о том, что $p$ - наибольшее простое значение коэффициента $p$, при котором такое решение существует. Полученное предположение и доказывает утверждение задачи.
Доказать, что уравнение $x^2 + x + 1 = py$ имеет решения в целых числах $x, у$ для бесконечно многих простых значений коэффициента $p$.
Решение:
Воспользуемся методом доказательства от противного: предположим, что выписанное в условии задачи уравнение имеет решения в целых $x$ и $у$ лишь для конечного числа простых значений $p$ и что наибольшим из них является $n$-е простое число $p_n$. Составим теперь число $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cdots \cdot p_n = x$ и рассмотрим выражение $X = x^2 + x + 1$. Так как число $X - 1 = x^2 + x = x(x+1)$ делится на все простые числа $2,3,4, \cdots, p_n$, то число $X$ не может делиться ни на одно из них; поэтому число $X$ имеет больший $p_n$ простой делитель $P$, т. е. $X = P_y$, где $у$ - некоторое натуральное число. (Здесь не исключен, разумеется, случай $P = X$, $у = 1$.) Таким образом, для $p = p$ наше уравнение имеет решение $x, у$ в целых числах, что противоречит предположению о том, что $p$ - наибольшее простое значение коэффициента $p$, при котором такое решение существует. Полученное предположение и доказывает утверждение задачи.
