Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2874
2019-05-06 
Решить в целых числах $x, у, z$ уравнение
$\underbrace{\sqrt {x + \sqrt {x+ \cdots + x}}}_{y \:корней} = z$.
Решение:
Обозначим $\underbrace{\sqrt {x + \sqrt {x+ \cdots + \sqrt{x}}}}_{y \:корней} $ через $A_y (x)$; в таком случае, очевидно,
$x + A_{y-1} (x) = x + \underbrace{\sqrt {x + \cdots + \sqrt{x}}}_{y \:корней} = z^2$, или $A_{y-1} (x) = z^2 - x$.
Таким образом, если число $A_y (x) = z$ - целое, то и число $A_{y-1} (x) (= z^2 - x)$ - целое; но тогда и число $A_{y-2} (x) (= (z^2 - x)^2 - x)$ - тоже целое, и $A_{y-3}(x)$ - целое, … и $A_1(x) = \sqrt{x}$ - целое. А из того, что $\sqrt{x} = t$ - целое, следует, что $x = t^2$ (где $t$ - целое).
Ясно, что для любого целого $t$ значения $x = t^2, y = 1, z = t$ являются решениями нашего уравнения. Пусть теперь $y > 1$. При этом числа
$A_1 (x) = \sqrt{x} = t$ и $A_2 (x) = \sqrt {x + \sqrt{x}} = \sqrt {t^2 + t} = \sqrt {t(t+1)}$
должны быть целыми; но числа $t$ и $t+1$ - взаимно простые, откуда следует, что произведение $t(t+1)$ может быть полным квадратом, лишь если и $t$, и $t+1$ - полные квадраты, т. е. если $t = 0$. А если $t = 0$, то, очевидно, $x = 0$ и $A_y (x) = 0$ при любом $x$.
Таким образом, все решения рассматриваемого уравнения таковы: $x = t^2$, $у = 1$ и $z = t$ (где $t$ - любое целое число; если корни понимаются в арифметическом смысле, то $t$ следует считать натуральным числом), и $x = 0, y = t$ - произвольное натуральное число, $z = 0$.
Решить в целых числах $x, у, z$ уравнение
$\underbrace{\sqrt {x + \sqrt {x+ \cdots + x}}}_{y \:корней} = z$.
Решение:
Обозначим $\underbrace{\sqrt {x + \sqrt {x+ \cdots + \sqrt{x}}}}_{y \:корней} $ через $A_y (x)$; в таком случае, очевидно,
$x + A_{y-1} (x) = x + \underbrace{\sqrt {x + \cdots + \sqrt{x}}}_{y \:корней} = z^2$, или $A_{y-1} (x) = z^2 - x$.
Таким образом, если число $A_y (x) = z$ - целое, то и число $A_{y-1} (x) (= z^2 - x)$ - целое; но тогда и число $A_{y-2} (x) (= (z^2 - x)^2 - x)$ - тоже целое, и $A_{y-3}(x)$ - целое, … и $A_1(x) = \sqrt{x}$ - целое. А из того, что $\sqrt{x} = t$ - целое, следует, что $x = t^2$ (где $t$ - целое).
Ясно, что для любого целого $t$ значения $x = t^2, y = 1, z = t$ являются решениями нашего уравнения. Пусть теперь $y > 1$. При этом числа
$A_1 (x) = \sqrt{x} = t$ и $A_2 (x) = \sqrt {x + \sqrt{x}} = \sqrt {t^2 + t} = \sqrt {t(t+1)}$
должны быть целыми; но числа $t$ и $t+1$ - взаимно простые, откуда следует, что произведение $t(t+1)$ может быть полным квадратом, лишь если и $t$, и $t+1$ - полные квадраты, т. е. если $t = 0$. А если $t = 0$, то, очевидно, $x = 0$ и $A_y (x) = 0$ при любом $x$.
Таким образом, все решения рассматриваемого уравнения таковы: $x = t^2$, $у = 1$ и $z = t$ (где $t$ - любое целое число; если корни понимаются в арифметическом смысле, то $t$ следует считать натуральным числом), и $x = 0, y = t$ - произвольное натуральное число, $z = 0$.
