Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2873
2019-05-06 
Решить в целых положительных числах уравнение
$x^2y + (x+1)^2y = (x+2)^2y$.
Решение:
При $y=1$ мы приходим к квадратному уравнению
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$,
имеющему единственный целый положительный корень $x = 3$ (второй корень уравнения $x = -1$ отрицателен). Пусть теперь $y > 1$. Заметим, что поскольку $x^{2y}$ и $(x+2)^{2y}$ - числа одинаковой четности, то число $(x+1)^{2y} [= (x+2)^{2y} - x^{2y}]$ будет четным; поэтому и число $x+1 = 2x_1$ - четное. Далее мы имеем
$(2x_1)^{2y} = (x+1)^{2y} = (x+2)^{2y} - x^{2y} = (2x_1 + 1)^{2y} - (2x_1 - 1)^{2y}$. (*)
Раскрыв скобки в стоящих справа выражениях с помощью формулы бинома Ньютона, получаем:
$(2x_1)^{2y} = 2[C_{2y}^1 (2x_1)^{2y-1} + C_2y^3 (2x_1)^{2y-3} + \cdots + C_{2y}^1 (2x_1)]$,
что, уединяя в левую часть последний член правой части равенства, можно переписать еще и так:
$2 \cdot 2y \cdot 2x_1 = (2x_1)^2y - 2 \cdot 2y (2x_1)^{2y-1} - 2 \cdot C_{2y}^3 (2x_1)^{2y-3} - \cdots - 2 \cdot C_{2y}^3 (2x_1)^3$
(заметьте, что поскольку $y \geq 2$, то $2y \geq 4$). Но все стоящие справа члены, очевидно, делятся на $(2x_1)^3$, откуда вытекает, что $у$ должно делиться на $x_1^2$.
Далее, разделив обе части равенства (*) на $(2x_1)^{2y}$, получим:
$1 = \left ( 1 + \frac{1}{2x_1} \right )^{2y} - \left (1 - \frac{1}{2x_1} \right )^{2y}$,
откуда следует, что $\left ( 1 + \frac{1}{2x_1} \right )^{2y} = 1 + \left ( 1 - \frac{1}{2x_1} \right )^{2y}$. Но с другой стороны в силу той же формулы бинома Ньютона
$\left ( 1 + \frac{1}{2x_1} \right )^{2y} = 1 + 2y \cdot \frac{1}{2x_1} + C_{2y}^3 \left ( \frac{1}{2x_1} \right )^2 + \cdots = 1 + \frac{y}{x_1} + \cdots > 1 + \frac{y}{x_1}$
и, значит,
$1 + \frac{y}{x_1} < 2$, или $\frac{y}{x_1} < 1$, откуда $y < x_1$,
что, однако, противоречит делимости $у$ на $x_1^3$. Поэтому наше уравнение не имеет таких решений, что $y > 1$ и все решения уравнения исчерпываются одним найденным выше: $у = 1$, $x = 3$.
Решить в целых положительных числах уравнение
$x^2y + (x+1)^2y = (x+2)^2y$.
Решение:
При $y=1$ мы приходим к квадратному уравнению
$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$,
имеющему единственный целый положительный корень $x = 3$ (второй корень уравнения $x = -1$ отрицателен). Пусть теперь $y > 1$. Заметим, что поскольку $x^{2y}$ и $(x+2)^{2y}$ - числа одинаковой четности, то число $(x+1)^{2y} [= (x+2)^{2y} - x^{2y}]$ будет четным; поэтому и число $x+1 = 2x_1$ - четное. Далее мы имеем
$(2x_1)^{2y} = (x+1)^{2y} = (x+2)^{2y} - x^{2y} = (2x_1 + 1)^{2y} - (2x_1 - 1)^{2y}$. (*)
Раскрыв скобки в стоящих справа выражениях с помощью формулы бинома Ньютона, получаем:
$(2x_1)^{2y} = 2[C_{2y}^1 (2x_1)^{2y-1} + C_2y^3 (2x_1)^{2y-3} + \cdots + C_{2y}^1 (2x_1)]$,
что, уединяя в левую часть последний член правой части равенства, можно переписать еще и так:
$2 \cdot 2y \cdot 2x_1 = (2x_1)^2y - 2 \cdot 2y (2x_1)^{2y-1} - 2 \cdot C_{2y}^3 (2x_1)^{2y-3} - \cdots - 2 \cdot C_{2y}^3 (2x_1)^3$
(заметьте, что поскольку $y \geq 2$, то $2y \geq 4$). Но все стоящие справа члены, очевидно, делятся на $(2x_1)^3$, откуда вытекает, что $у$ должно делиться на $x_1^2$.
Далее, разделив обе части равенства (*) на $(2x_1)^{2y}$, получим:
$1 = \left ( 1 + \frac{1}{2x_1} \right )^{2y} - \left (1 - \frac{1}{2x_1} \right )^{2y}$,
откуда следует, что $\left ( 1 + \frac{1}{2x_1} \right )^{2y} = 1 + \left ( 1 - \frac{1}{2x_1} \right )^{2y}$. Но с другой стороны в силу той же формулы бинома Ньютона
$\left ( 1 + \frac{1}{2x_1} \right )^{2y} = 1 + 2y \cdot \frac{1}{2x_1} + C_{2y}^3 \left ( \frac{1}{2x_1} \right )^2 + \cdots = 1 + \frac{y}{x_1} + \cdots > 1 + \frac{y}{x_1}$
и, значит,
$1 + \frac{y}{x_1} < 2$, или $\frac{y}{x_1} < 1$, откуда $y < x_1$,
что, однако, противоречит делимости $у$ на $x_1^3$. Поэтому наше уравнение не имеет таких решений, что $y > 1$ и все решения уравнения исчерпываются одним найденным выше: $у = 1$, $x = 3$.
