Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2870
2019-05-06 
а) При каких целых значениях $k$ возможно равенство
$x^2 + y^2 + z^2 = kxyz$,
где $x, у, z$ - целые положительные числа?
б) Найти в пределах первой тысячи всевозможные тройки целых чисел, сумма квадратов которых делится на их произведение.
Решение:
а) Пусть $x$, $у$, $z$ - какие-то три целых положительных числа, удовлетворяющих уравнению
$x^2 + y^2 + z^2 = kxyz$. (*)
Покажем прежде всего, что всегда можно считать справедливыми неравенства
$x \leq \frac{kyz}{2}, y \leq \frac{kxz}{2}, z \leq \frac{kxy}{2}$ (**)
(т. е., другими словами, что ни одно из слагаемых, стоящих в левой части уравнения (*), не превосходит половины правой части).
Действительно, если бы было, например, $z > \frac{kxy}{2}$, то мы рассмотрели бы не числа $x$, $у$, $z$, а меньшие числа $x$, $у$ и $z_1 = kxy - z$, которые, как нетрудно видеть, тоже удовлетворяют уравнению (*):
$x^2 + y^2 + (kxy - z)^2 = kxy (kxy - z)$.
Если из этих новых чисел какое-нибудь опять будет больше произведения двух других, умноженного на $\frac{k}{2}$, то мы проведем снова аналогичную замену и так будем поступать до тех пор, пока не станут выполняться условия (**) (после этого наш процесс уже не приведет к уменьшению чисел $x$, $у$, $z$).
Будем считать, что $x \leq y \leq z$. Прежде всего из того, что $y \leq z \leq \frac{kxy}{2}$ следует
$1 \geq \frac{kx}{2}; kx \geq 2$.
Уравнение (*), очевидно, можно переписать в виде
$x^2 + y^2 + \left ( \frac{kxy}{2} - z \right )^2 = \left ( \frac{kxy}{2} \right )^2$.
Так как $z \leq \frac{kxy}{2}$, то при замене в левой части последнего равенства числа $z$ на $y \leq z$ эта левая часть возрастает (или - в случае $y = z$ - не меняется); следовательно,
$x^2 + y^2 + \left ( \frac{kxy}{2} - y \right )^2 \geq \frac {k^2x^2y^2}{4}$.
Отсюда, раскрывая скобки, получаем:
$x^2 + 2y^2 \geq kxy^2$.
Так как по условию $x \leq y$, то тем более
$y^2 + 2y^2 \geq kxy^2$,
т. е.
$kx \leq 3$.
Таким образом, мы имеем $2 \leq kx \leq 3$, т. е. $kx$ равно 2 или 3. Но если $kx = 2$, то уравнение (*) принимает вид
$x^2 + y^2 + z^2 = 2yz$, или $x^2 + (y - z)^2 = 0$,
откуда $х$ = 0 и $k$x = 0, а не 2. Следовательно, $kx = 3$ и, значит, $k$ может равняться только 1 или 3. Нетрудно убедиться на простых примерах, что эти значения $k$ являются возможными (см. решение задачи б)).
б) Продолжим рассуждения, которые привели к решению задачи а). Выше мы имели $x^2 + 2y^2 \geq kxy^2$, так как $kx = 3$, то это неравенство можно переписать в виде
$x^2 + 2y^2 \geq 3y^2$, или $x^2 \geq y^2$.
Но мы предполагали, что $x \leq y$; следовательно, $х = у$. Полагая теперь в основном уравнении (*) $х = у$, $kx$ = 3, мы получим:
$2x^2 + z^2 = 3xz$, или $(z-x)(z-2x) = 0$.
Таким образом, $z = x$ или $z = 2x$. Но так как $z \leq \frac{kxy}{2} = \frac{3y}{2} = \frac{3x}{2}$, то $z$ не может равняться $2х$; следовательно, $z = x$.
Итак, мы видим, что если только выполняются условия (**), то должно быть $x = y = z$. Но так как $kx = 3$, то $х$ может быть равно только 1 или 3. Соответственно этому получаем два решения уравнения (*):
$x = y = z = 1 (k = 3)$
и
$x = y = z = 3 (k = 1)$.
В решении задачи а) мы видели, что всякую тройку чисел $x$, $у$, $z$ удовлетворяющих уравнению (*), можно последовательными подстановками вида $z_1 = kxy - z$ привести к тройке чисел, удовлетворяющих неравенствам (**). Но если $z_1 = kxy - z$, то $z = kxy - z_1$, поэтому каждое решение уравнения (*) можно получить из выписанных выше наименьших решений последовательными подстановками вида $z_1 = kxy - z$. В частности, таким образом, получаем следующие решения уравнения (*), не превосходящие 1000:
1°. Случай $k = 3$.
$x = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 5 5$
$У = 1 1 2 5 13 34 89 233 5 29 169 13 29$
$z = 1 2 5 13 34 89 233 610 29 169 985 194 433$
2°. Случай $k = 1$.
$х = 3 3 3 3 3 3 3 6 6 15$
$у = 3 3 6 15 39 102 267 15 87 39$
$z = 3 6 15 39 102 267 699 87 507 582$
(то, что решения, отвечающие значению $k = 1$, получаются из решений, отвечающие значению $k = 3$, простым умножением чисел $х$, $y$ и $z$ на 3, сразу следует из того, что так связаны между собой наименьшие решения уравнений $x^2 + y^2 + z^2 = xyz$ и $x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$).
а) При каких целых значениях $k$ возможно равенство
$x^2 + y^2 + z^2 = kxyz$,
где $x, у, z$ - целые положительные числа?
б) Найти в пределах первой тысячи всевозможные тройки целых чисел, сумма квадратов которых делится на их произведение.
Решение:
а) Пусть $x$, $у$, $z$ - какие-то три целых положительных числа, удовлетворяющих уравнению
$x^2 + y^2 + z^2 = kxyz$. (*)
Покажем прежде всего, что всегда можно считать справедливыми неравенства
$x \leq \frac{kyz}{2}, y \leq \frac{kxz}{2}, z \leq \frac{kxy}{2}$ (**)
(т. е., другими словами, что ни одно из слагаемых, стоящих в левой части уравнения (*), не превосходит половины правой части).
Действительно, если бы было, например, $z > \frac{kxy}{2}$, то мы рассмотрели бы не числа $x$, $у$, $z$, а меньшие числа $x$, $у$ и $z_1 = kxy - z$, которые, как нетрудно видеть, тоже удовлетворяют уравнению (*):
$x^2 + y^2 + (kxy - z)^2 = kxy (kxy - z)$.
Если из этих новых чисел какое-нибудь опять будет больше произведения двух других, умноженного на $\frac{k}{2}$, то мы проведем снова аналогичную замену и так будем поступать до тех пор, пока не станут выполняться условия (**) (после этого наш процесс уже не приведет к уменьшению чисел $x$, $у$, $z$).
Будем считать, что $x \leq y \leq z$. Прежде всего из того, что $y \leq z \leq \frac{kxy}{2}$ следует
$1 \geq \frac{kx}{2}; kx \geq 2$.
Уравнение (*), очевидно, можно переписать в виде
$x^2 + y^2 + \left ( \frac{kxy}{2} - z \right )^2 = \left ( \frac{kxy}{2} \right )^2$.
Так как $z \leq \frac{kxy}{2}$, то при замене в левой части последнего равенства числа $z$ на $y \leq z$ эта левая часть возрастает (или - в случае $y = z$ - не меняется); следовательно,
$x^2 + y^2 + \left ( \frac{kxy}{2} - y \right )^2 \geq \frac {k^2x^2y^2}{4}$.
Отсюда, раскрывая скобки, получаем:
$x^2 + 2y^2 \geq kxy^2$.
Так как по условию $x \leq y$, то тем более
$y^2 + 2y^2 \geq kxy^2$,
т. е.
$kx \leq 3$.
Таким образом, мы имеем $2 \leq kx \leq 3$, т. е. $kx$ равно 2 или 3. Но если $kx = 2$, то уравнение (*) принимает вид
$x^2 + y^2 + z^2 = 2yz$, или $x^2 + (y - z)^2 = 0$,
откуда $х$ = 0 и $k$x = 0, а не 2. Следовательно, $kx = 3$ и, значит, $k$ может равняться только 1 или 3. Нетрудно убедиться на простых примерах, что эти значения $k$ являются возможными (см. решение задачи б)).
б) Продолжим рассуждения, которые привели к решению задачи а). Выше мы имели $x^2 + 2y^2 \geq kxy^2$, так как $kx = 3$, то это неравенство можно переписать в виде
$x^2 + 2y^2 \geq 3y^2$, или $x^2 \geq y^2$.
Но мы предполагали, что $x \leq y$; следовательно, $х = у$. Полагая теперь в основном уравнении (*) $х = у$, $kx$ = 3, мы получим:
$2x^2 + z^2 = 3xz$, или $(z-x)(z-2x) = 0$.
Таким образом, $z = x$ или $z = 2x$. Но так как $z \leq \frac{kxy}{2} = \frac{3y}{2} = \frac{3x}{2}$, то $z$ не может равняться $2х$; следовательно, $z = x$.
Итак, мы видим, что если только выполняются условия (**), то должно быть $x = y = z$. Но так как $kx = 3$, то $х$ может быть равно только 1 или 3. Соответственно этому получаем два решения уравнения (*):
$x = y = z = 1 (k = 3)$
и
$x = y = z = 3 (k = 1)$.
В решении задачи а) мы видели, что всякую тройку чисел $x$, $у$, $z$ удовлетворяющих уравнению (*), можно последовательными подстановками вида $z_1 = kxy - z$ привести к тройке чисел, удовлетворяющих неравенствам (**). Но если $z_1 = kxy - z$, то $z = kxy - z_1$, поэтому каждое решение уравнения (*) можно получить из выписанных выше наименьших решений последовательными подстановками вида $z_1 = kxy - z$. В частности, таким образом, получаем следующие решения уравнения (*), не превосходящие 1000:
1°. Случай $k = 3$.
$x = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 5 5$
$У = 1 1 2 5 13 34 89 233 5 29 169 13 29$
$z = 1 2 5 13 34 89 233 610 29 169 985 194 433$
2°. Случай $k = 1$.
$х = 3 3 3 3 3 3 3 6 6 15$
$у = 3 3 6 15 39 102 267 15 87 39$
$z = 3 6 15 39 102 267 699 87 507 582$
(то, что решения, отвечающие значению $k = 1$, получаются из решений, отвечающие значению $k = 3$, простым умножением чисел $х$, $y$ и $z$ на 3, сразу следует из того, что так связаны между собой наименьшие решения уравнений $x^2 + y^2 + z^2 = xyz$ и $x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$).
