Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 287
2014-06-07 
Длина наибольшей стороны равнобедренной трапеции равна 13, а периметр - 28.
а) Найти стороны трапеции, если ее площадь раина 27.
б) Может ли площадь такой трапеции равняться 27,001?
Решение:
Пусть AD - большее основание, а ВН - высота данной трапеции ABCD (рис.). Тогда
AD = 13
(в противном случае $AB = CD = 13, AD + BC = 28 – 2 \cdot 13 = 2$ и $S_{ABCD} = BH \cdot (AD + BC)/2 \leq 13 \cdot (2/2) = 13 < 27$),
$AB = x$,
$BC =28 – 13 – 2x = 15 – 2x, AH = \frac{13 – (15 – 2x)}{2} = x - 1$,
$BH = \sqrt{AB^{2} – AH^{2}} = \sqrt{2x - 1}$
Применяя теорему о средних, получаем
$S_{ABCD} = \sqrt{2x - 1} \cdot (28 – 2x)/2 = \sqrt{(2x - 1)(14 - x)^{2}} \leq$
$\leq \sqrt{ \left ( \frac{(2x - 1) + (14 - x) + (14 - x)}{3} \right )^{3} } = \sqrt{ \left ( \frac{27}{3} \right )^{3}} = 27$,
причем равенство $S_{ABCD} = 27$ возможно лишь в случае
$2x – 1 = 14 – x$, т.е. $x = 5$,
и AB = BC = CD = 5, а равенство
$S_{ABCD} = 27,001$
невозможно.
Длина наибольшей стороны равнобедренной трапеции равна 13, а периметр - 28.
а) Найти стороны трапеции, если ее площадь раина 27.
б) Может ли площадь такой трапеции равняться 27,001?
Решение:
Пусть AD - большее основание, а ВН - высота данной трапеции ABCD (рис.). Тогда
AD = 13
(в противном случае $AB = CD = 13, AD + BC = 28 – 2 \cdot 13 = 2$ и $S_{ABCD} = BH \cdot (AD + BC)/2 \leq 13 \cdot (2/2) = 13 < 27$),
$AB = x$,
$BC =28 – 13 – 2x = 15 – 2x, AH = \frac{13 – (15 – 2x)}{2} = x - 1$,
$BH = \sqrt{AB^{2} – AH^{2}} = \sqrt{2x - 1}$
Применяя теорему о средних, получаем
$S_{ABCD} = \sqrt{2x - 1} \cdot (28 – 2x)/2 = \sqrt{(2x - 1)(14 - x)^{2}} \leq$
$\leq \sqrt{ \left ( \frac{(2x - 1) + (14 - x) + (14 - x)}{3} \right )^{3} } = \sqrt{ \left ( \frac{27}{3} \right )^{3}} = 27$,
причем равенство $S_{ABCD} = 27$ возможно лишь в случае
$2x – 1 = 14 – x$, т.е. $x = 5$,
и AB = BC = CD = 5, а равенство
$S_{ABCD} = 27,001$
невозможно.
