Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2867
2019-05-06 
Решить в целых числах уравнения:
а) $1! + 2! + 3! + \cdots+ x! = y^2$;
б) $11 + 21+ 3! + \cdots + x! = y^2$.
Решение:
а) Непосредственной проверкой убеждаемся, что при $x < 5$ единственными решениями нашего уравнения будут числа $x = 1$, $y = \pm 1$ и $x = 3$, $у = \pm 3$. Докажем теперь, что при $x \geq 5$ решений нет. Для этого заметим, что $1! + 2! + 3! + 4! = 33$ оканчивается цифрой 3, а $5!, 6!, 7!, \cdots$ все оканчиваются нулем. Таким образом, при $x \geq 5$ сумма $1! + 2! + \cdots + x!$ оканчивается цифрой 3, а поэтому не может равняться квадрату целого числа $у$ (никакой квадрат целого числа не оканчивается на 3).
б) Рассмотрим два случая:
1°. $z = 2n$ - четное число. Этот случай легко сводится к предыдущей задаче, ибо $y^{2n} = (y^n)^2$. Таким образом, при четном $z$ решения таковы:
$x = 1$; $y = \pm 1$; $z$ - любое четное;
$x = 3$; $y = \pm 3$; $z = 2$.
2°. $z$ - нечетное число. При $z = 1$ годится любое значение $x$, причем $y = 1! + 2! + \cdots + x!$. Пусть $z \geq 3$. Заметим, что $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7!+ 8! = 46 233$. Число 46 233 делится на 9, но не делится на 27, а при $n \geq 9$ число $n$ делится на 27. Сумма $9! + 10! + \cdots +х!$ делится на 27; поскольку, однако, $1! + 2! + \cdots + 8!$ делится на 9, но не делится на 27, вся сумма $1! + 2! + … + x!$ при $x \geq 8$ делится на 9, но не делится на 27. Для того чтобы $у^z$ делилось на 9, необходимо, чтобы $у$ делилось на 3. Но тогда $у^z$ делится на 27 (ибо $z \geq 3$) и, следовательно, при $x \geq 8, z \geq 3$ решений в целых числах нет. Остается рассмотреть случай $x < 8$. Имеем $1! = 1 = 1^z$, где $z$ - любое натуральное число; $1! + 2! = 3$, т. е. не равно никакой целой, отличной от 1 степени никакого натурального числа; $1! + 2! + 3! = 3^2$, и далее:
$1! + 2! + 3! + 4! = 33$,
$1! + 2! + \cdots + 5! = 153$,
$1! + 2! + \cdots + 6! = 873$,
$1! + 2! + \cdots + 7! = 5913$.
Ни одно из чисел 33, 153, 873 и 5913 не является целой, отличной от единицы степенью никакого натурального числа. Таким образом, при нечетном $z$ окончательно имеем лишь следующие решения:
$x = 1$, $у = 1$, $z$ = любое нечетное;
$x$ - любое натуральное, $y = 1! + 2! + \cdots + x!$, $z = 1$.
Решить в целых числах уравнения:
а) $1! + 2! + 3! + \cdots+ x! = y^2$;
б) $11 + 21+ 3! + \cdots + x! = y^2$.
Решение:
а) Непосредственной проверкой убеждаемся, что при $x < 5$ единственными решениями нашего уравнения будут числа $x = 1$, $y = \pm 1$ и $x = 3$, $у = \pm 3$. Докажем теперь, что при $x \geq 5$ решений нет. Для этого заметим, что $1! + 2! + 3! + 4! = 33$ оканчивается цифрой 3, а $5!, 6!, 7!, \cdots$ все оканчиваются нулем. Таким образом, при $x \geq 5$ сумма $1! + 2! + \cdots + x!$ оканчивается цифрой 3, а поэтому не может равняться квадрату целого числа $у$ (никакой квадрат целого числа не оканчивается на 3).
б) Рассмотрим два случая:
1°. $z = 2n$ - четное число. Этот случай легко сводится к предыдущей задаче, ибо $y^{2n} = (y^n)^2$. Таким образом, при четном $z$ решения таковы:
$x = 1$; $y = \pm 1$; $z$ - любое четное;
$x = 3$; $y = \pm 3$; $z = 2$.
2°. $z$ - нечетное число. При $z = 1$ годится любое значение $x$, причем $y = 1! + 2! + \cdots + x!$. Пусть $z \geq 3$. Заметим, что $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7!+ 8! = 46 233$. Число 46 233 делится на 9, но не делится на 27, а при $n \geq 9$ число $n$ делится на 27. Сумма $9! + 10! + \cdots +х!$ делится на 27; поскольку, однако, $1! + 2! + \cdots + 8!$ делится на 9, но не делится на 27, вся сумма $1! + 2! + … + x!$ при $x \geq 8$ делится на 9, но не делится на 27. Для того чтобы $у^z$ делилось на 9, необходимо, чтобы $у$ делилось на 3. Но тогда $у^z$ делится на 27 (ибо $z \geq 3$) и, следовательно, при $x \geq 8, z \geq 3$ решений в целых числах нет. Остается рассмотреть случай $x < 8$. Имеем $1! = 1 = 1^z$, где $z$ - любое натуральное число; $1! + 2! = 3$, т. е. не равно никакой целой, отличной от 1 степени никакого натурального числа; $1! + 2! + 3! = 3^2$, и далее:
$1! + 2! + 3! + 4! = 33$,
$1! + 2! + \cdots + 5! = 153$,
$1! + 2! + \cdots + 6! = 873$,
$1! + 2! + \cdots + 7! = 5913$.
Ни одно из чисел 33, 153, 873 и 5913 не является целой, отличной от единицы степенью никакого натурального числа. Таким образом, при нечетном $z$ окончательно имеем лишь следующие решения:
$x = 1$, $у = 1$, $z$ = любое нечетное;
$x$ - любое натуральное, $y = 1! + 2! + \cdots + x!$, $z = 1$.
