Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2866
2019-05-06 
Найти все целые числа, равные -
а) квадрату суммы цифр числа;
б) сумме цифр куба числа.
Решение:
а) Очевидно, что искомое число $N$ не может иметь более четырех цифр, так как сумма цифр пятизначного числа не превосходит $5 \cdot 9 = 45$, а $45^2 = 2025$ - число четырехзначное. Далее, так как $4 \cdot 9 = 36$, а $36^2 = 1296$, то при $N$ четырехзначном первая цифра $N$ не превосходит 1. Но $1 + 3 \cdot 9 = 28$, а $28^2 = 784$ трехзначно; значит, $N$ вообще не может быть четырехзначным числом. Итак, мы можем предположить, что $N = 100x + 10y + z$, где $х$, $у$, $z$ - цифры искомого числа; при этом возможно, что $х = 0$ или даже $x = y = 0$.
Теперь условие задачи можно записать в виде
$100x + 10y + z = (x+y+z)^2$,
или
$99x + 9y = (x+y+z)^2 - (x+y+z) = (x+y+z)(x+y+z - 1)$.
Таким образом, мы видим, что либо $x+y+z$, либо $x+y+z-1$ делится на 9 (каждое из этих двух чисел делиться на 3 не может, так как они взаимно простые). Но $1 \leq x+y+z \leq 27$. Рассмотрим теперь отдельно все представляющиеся случаи.
1°. $x+y+z - 1 = 0$; $99x + 9y = 0$, $x=y=0$, $z = 1; $N = 1$.
2°. $x+y+z = 9$; $99x + 9y = 9 \cdot 8 = 72$, $x=0$, $9y = 72; $y = 8$; $z = 1$; $N = 81 (=(8+1)^2)$.
3°. $x+y+z-1 = 9$; $99x+9y = 9 \cdot 10 = 90$, $x = 0$, $9y = 90$, что невозможно.
4°. $x+y+z = 18$; $99x+9y = 18 \cdot 17 = 306$, $x = 3$, $y = 1$, $z = 18 - (3+1) = 14$, что невозможно.
5°. $x+y+z-1 = 18$; $99x+9y = 19 \cdot 18 = 342$, $x = 3$, $y = 5$, $z = 19 - (3 + 5) = 11$, что невозможно.
6°. $x+y+z = 27$; $99x + 9y = 27 \cdot 26 = 702$, $x = 7$, $y = 1$, $z = 27 - (7+1) = 19$, что невозможно.
Итак, условию задачи удовлетворяют только числа 1 и 81.
б) Куб трехзначного числа может содержать не более девяти цифр; поэтому сумма цифр куба этого числа не превосходит $9 \cdot 9 = 81 < 100$. Отсюда следует, что искомое число не может быть трехзначным; аналогично показывается, что оно не может содержать и больше трех цифр. Итак, искомое число обязательно будет однозначным или двузначным.
Куб двузначного числа не может иметь более шести цифр; поэтому сумма цифр куба не превосходит $6 \cdot 9 = 54$. Итак, искомое число не может превосходить 54. Но если куб числа, не превосходящего 54, даже и имеет шесть цифр, то первая цифра его равна 1; поэтому сумма цифр куба не превосходит $5 \cdot 9 + 1 = 46$. Итак, искомое число не превосходит 46.
Если число не превосходит 46, то куб его содержит не более пяти цифр, и так как он меньше 99 999, то сумма цифр куба не превосходит $4 \cdot 9 + 8 = 44$; так как куб числа 44 есть пятизначное число, оканчивающееся на 4, то и 44 больше суммы цифр своего куба. Итак, искомое число не превосходит 43.
Далее, так как сумма цифр каждого числа дает при делении на 9 такой же остаток, как и само число, то искомое число и его куб должны давать при делении на 9 одинаковые остатки. Но это возможно только в том случае, если искомое число дает при делении на 9 остаток - 1, 0 или 1.
Итак, искомое число не превосходит 43 и дает при делении на 9 остаток - 1, 0 или 1. Этим условиям удовлетворяют лишь следующие 13 чисел:
1, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 26, 27, 28, 35, 36, 37.
Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют числа:
$1(1^3 = 1)$, $8(8^3 = 512)$, $17(17^3 = 4193)$, $18(18^3 - 5832)$, $26(26^3 = 17576)$, $27(27^3 = 19683)$.
Найти все целые числа, равные -
а) квадрату суммы цифр числа;
б) сумме цифр куба числа.
Решение:
а) Очевидно, что искомое число $N$ не может иметь более четырех цифр, так как сумма цифр пятизначного числа не превосходит $5 \cdot 9 = 45$, а $45^2 = 2025$ - число четырехзначное. Далее, так как $4 \cdot 9 = 36$, а $36^2 = 1296$, то при $N$ четырехзначном первая цифра $N$ не превосходит 1. Но $1 + 3 \cdot 9 = 28$, а $28^2 = 784$ трехзначно; значит, $N$ вообще не может быть четырехзначным числом. Итак, мы можем предположить, что $N = 100x + 10y + z$, где $х$, $у$, $z$ - цифры искомого числа; при этом возможно, что $х = 0$ или даже $x = y = 0$.
Теперь условие задачи можно записать в виде
$100x + 10y + z = (x+y+z)^2$,
или
$99x + 9y = (x+y+z)^2 - (x+y+z) = (x+y+z)(x+y+z - 1)$.
Таким образом, мы видим, что либо $x+y+z$, либо $x+y+z-1$ делится на 9 (каждое из этих двух чисел делиться на 3 не может, так как они взаимно простые). Но $1 \leq x+y+z \leq 27$. Рассмотрим теперь отдельно все представляющиеся случаи.
1°. $x+y+z - 1 = 0$; $99x + 9y = 0$, $x=y=0$, $z = 1; $N = 1$.
2°. $x+y+z = 9$; $99x + 9y = 9 \cdot 8 = 72$, $x=0$, $9y = 72; $y = 8$; $z = 1$; $N = 81 (=(8+1)^2)$.
3°. $x+y+z-1 = 9$; $99x+9y = 9 \cdot 10 = 90$, $x = 0$, $9y = 90$, что невозможно.
4°. $x+y+z = 18$; $99x+9y = 18 \cdot 17 = 306$, $x = 3$, $y = 1$, $z = 18 - (3+1) = 14$, что невозможно.
5°. $x+y+z-1 = 18$; $99x+9y = 19 \cdot 18 = 342$, $x = 3$, $y = 5$, $z = 19 - (3 + 5) = 11$, что невозможно.
6°. $x+y+z = 27$; $99x + 9y = 27 \cdot 26 = 702$, $x = 7$, $y = 1$, $z = 27 - (7+1) = 19$, что невозможно.
Итак, условию задачи удовлетворяют только числа 1 и 81.
б) Куб трехзначного числа может содержать не более девяти цифр; поэтому сумма цифр куба этого числа не превосходит $9 \cdot 9 = 81 < 100$. Отсюда следует, что искомое число не может быть трехзначным; аналогично показывается, что оно не может содержать и больше трех цифр. Итак, искомое число обязательно будет однозначным или двузначным.
Куб двузначного числа не может иметь более шести цифр; поэтому сумма цифр куба не превосходит $6 \cdot 9 = 54$. Итак, искомое число не может превосходить 54. Но если куб числа, не превосходящего 54, даже и имеет шесть цифр, то первая цифра его равна 1; поэтому сумма цифр куба не превосходит $5 \cdot 9 + 1 = 46$. Итак, искомое число не превосходит 46.
Если число не превосходит 46, то куб его содержит не более пяти цифр, и так как он меньше 99 999, то сумма цифр куба не превосходит $4 \cdot 9 + 8 = 44$; так как куб числа 44 есть пятизначное число, оканчивающееся на 4, то и 44 больше суммы цифр своего куба. Итак, искомое число не превосходит 43.
Далее, так как сумма цифр каждого числа дает при делении на 9 такой же остаток, как и само число, то искомое число и его куб должны давать при делении на 9 одинаковые остатки. Но это возможно только в том случае, если искомое число дает при делении на 9 остаток - 1, 0 или 1.
Итак, искомое число не превосходит 43 и дает при делении на 9 остаток - 1, 0 или 1. Этим условиям удовлетворяют лишь следующие 13 чисел:
1, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 26, 27, 28, 35, 36, 37.
Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют числа:
$1(1^3 = 1)$, $8(8^3 = 512)$, $17(17^3 = 4193)$, $18(18^3 - 5832)$, $26(26^3 = 17576)$, $27(27^3 = 19683)$.
