Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2865
2019-05-06 
а) Найти все трехзначные числа, равные сумме факториалов своих цифр.
б) Найти все целые числа, равные сумме квадратов своих цифр.
Решение:
а) Обозначим цифры сотен, десятков и единиц искомого числа $N$ соответственно через $x, у$ и $z$, так что $N = 100x + 10y +z$. В таком случае условие задачи дает
$100x + 10y + z = x! + y! + z!$.
Отметим, что $7! = 5040$ есть число четырехзначное; поэтому ни одна цифра числа $N$ не может превосходить 6. Следовательно, само число $N$ не превосходит 700, откуда вытекает, что ни одна его цифра не может превосходить 5 (ибо $6! = 720 > 700$). Хотя бы одна цифра числа $N$ равна 5, так как даже $3 \cdot 4! = 72 < 100$, а $N$ трехзначно. При этом $x$ не может быть равно 5, так как даже $3 \cdot 5! = 360 < 500$. Отсюда следует также, что $x$ не превосходит 3. Далее можно утверждать, что $x$ не превосходит 2, так как даже $3! + 2 \cdot 5! = 246 < 300$. Но число 255 не удовлетворяет условию задачи, а если лишь одна цифра искомого числа равна 5, то $x$ не может быть больше 1, ибо даже $2! + 5! + 4! = 146 < 200$. Более того, так как $1! + 5! + 4! = 145 < 150$, то мы заключаем, что $у$ не может превосходить 4; следовательно, $z = 5$, так как хотя бы одна цифра числа $N$ должна равняться 5. Таким образом, мы имеем $x = 1$, $4 \geq y \geq 0$ и $z = 5$; это позволяет легко обнаружить единственное решение задачи: $N = 145$.
б) Искомое число $N$ не может иметь больше чем три цифры, так как даже $4 \cdot 9^2 = 324$ - число трехзначное. Поэтому мы можем написать $N = 100x + 10y + z$, где $x$, $у$, $z$ - цифры числа; при этом $x$ или даже $x$ и $у$ одновременно могут быть равны нулю.
Из условия задачи имеем $100x + 10y + z = x^2 + y^2 + z^2$, откуда
$(100 - x)x + (10-y)y = z(z-1)$. (*)
Из последнего равенства прежде всего следует, что $x = 0$ - в противном случае число, стоящее в левой части равенства, не меньше чем $90 (x \geq 1, 100 - x \geq 90, (10 - y) y \geq 0)$, а число, стоящее справа, не больше чем $9 \cdot 8 = 72$ (ибо $z \leq 9$). Следовательно, уравнение (*) имеет вид $(10 - y)y = z (z - 1)$. Легко проверить, что это последнее равенство не удовлетворяется ни при каких целых положительных $х$ и $у$, не превосходящих 9, если только $y \neq 0$. Если $у = 0$, то мы имеем единственное очевидное решение $z = 1$.
Таким образом, условию задачи удовлетворяет единственное число $N = 1$.
а) Найти все трехзначные числа, равные сумме факториалов своих цифр.
б) Найти все целые числа, равные сумме квадратов своих цифр.
Решение:
а) Обозначим цифры сотен, десятков и единиц искомого числа $N$ соответственно через $x, у$ и $z$, так что $N = 100x + 10y +z$. В таком случае условие задачи дает
$100x + 10y + z = x! + y! + z!$.
Отметим, что $7! = 5040$ есть число четырехзначное; поэтому ни одна цифра числа $N$ не может превосходить 6. Следовательно, само число $N$ не превосходит 700, откуда вытекает, что ни одна его цифра не может превосходить 5 (ибо $6! = 720 > 700$). Хотя бы одна цифра числа $N$ равна 5, так как даже $3 \cdot 4! = 72 < 100$, а $N$ трехзначно. При этом $x$ не может быть равно 5, так как даже $3 \cdot 5! = 360 < 500$. Отсюда следует также, что $x$ не превосходит 3. Далее можно утверждать, что $x$ не превосходит 2, так как даже $3! + 2 \cdot 5! = 246 < 300$. Но число 255 не удовлетворяет условию задачи, а если лишь одна цифра искомого числа равна 5, то $x$ не может быть больше 1, ибо даже $2! + 5! + 4! = 146 < 200$. Более того, так как $1! + 5! + 4! = 145 < 150$, то мы заключаем, что $у$ не может превосходить 4; следовательно, $z = 5$, так как хотя бы одна цифра числа $N$ должна равняться 5. Таким образом, мы имеем $x = 1$, $4 \geq y \geq 0$ и $z = 5$; это позволяет легко обнаружить единственное решение задачи: $N = 145$.
б) Искомое число $N$ не может иметь больше чем три цифры, так как даже $4 \cdot 9^2 = 324$ - число трехзначное. Поэтому мы можем написать $N = 100x + 10y + z$, где $x$, $у$, $z$ - цифры числа; при этом $x$ или даже $x$ и $у$ одновременно могут быть равны нулю.
Из условия задачи имеем $100x + 10y + z = x^2 + y^2 + z^2$, откуда
$(100 - x)x + (10-y)y = z(z-1)$. (*)
Из последнего равенства прежде всего следует, что $x = 0$ - в противном случае число, стоящее в левой части равенства, не меньше чем $90 (x \geq 1, 100 - x \geq 90, (10 - y) y \geq 0)$, а число, стоящее справа, не больше чем $9 \cdot 8 = 72$ (ибо $z \leq 9$). Следовательно, уравнение (*) имеет вид $(10 - y)y = z (z - 1)$. Легко проверить, что это последнее равенство не удовлетворяется ни при каких целых положительных $х$ и $у$, не превосходящих 9, если только $y \neq 0$. Если $у = 0$, то мы имеем единственное очевидное решение $z = 1$.
Таким образом, условию задачи удовлетворяет единственное число $N = 1$.
