Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2864
2019-05-06 
Найти все четырехзначные числа, являющиеся полными квадратами и записываемые
а) четырьмя четными цифрами;
б) четырьмя нечетными цифрами.
Решение:
а) Четырехзначное число, записываемое четырьмя четными цифрами, может начинаться с цифр 2; 4, 6 или 8; другими словами, оно заключено между 1999 и 3000, или между 3999 и 5000, или между 5999 и 7000, или между 7999 и 9000. Поэтому корень квадратный из этого числа заключается между 44 и 55, или между 63 и 71, или между 77 и 84, или между 89 и 95. Заметим еще, что так как $(10x+y)^2 = 100x^2 + 20xy+y^2$, то при $0 \leq y \leq 9$ цифра десятков числа $(10x + y)^2$ четна или нечетна одновременно с цифрой десятков числа $у^2$. Поэтому корень квадратный из искомого числа не может оканчиваться цифрами 4 и 6.
Так как корень квадратный из искомого числа четен, то он может равняться лишь одному из следующих 10 чисел:
48, 50, 52, 63, 70, 78, 80, 82, 90 и 92.
Непосредственная проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют числа:
$68^2 = 4624$; $78^2 = 6084$; $80^2 = 6400$; $92^2 = 8464$.
б) Рассуждения, аналогичные тем, которые привели нас к решению задачи а), показывают, что вовсе не существует четырехзначных чисел, являющихся полными квадратами и записывающихся четырьмя нечетными цифрами.
Найти все четырехзначные числа, являющиеся полными квадратами и записываемые
а) четырьмя четными цифрами;
б) четырьмя нечетными цифрами.
Решение:
а) Четырехзначное число, записываемое четырьмя четными цифрами, может начинаться с цифр 2; 4, 6 или 8; другими словами, оно заключено между 1999 и 3000, или между 3999 и 5000, или между 5999 и 7000, или между 7999 и 9000. Поэтому корень квадратный из этого числа заключается между 44 и 55, или между 63 и 71, или между 77 и 84, или между 89 и 95. Заметим еще, что так как $(10x+y)^2 = 100x^2 + 20xy+y^2$, то при $0 \leq y \leq 9$ цифра десятков числа $(10x + y)^2$ четна или нечетна одновременно с цифрой десятков числа $у^2$. Поэтому корень квадратный из искомого числа не может оканчиваться цифрами 4 и 6.
Так как корень квадратный из искомого числа четен, то он может равняться лишь одному из следующих 10 чисел:
48, 50, 52, 63, 70, 78, 80, 82, 90 и 92.
Непосредственная проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют числа:
$68^2 = 4624$; $78^2 = 6084$; $80^2 = 6400$; $92^2 = 8464$.
б) Рассуждения, аналогичные тем, которые привели нас к решению задачи а), показывают, что вовсе не существует четырехзначных чисел, являющихся полными квадратами и записывающихся четырьмя нечетными цифрами.
