Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2863
2019-05-06 
Найти четырехзначное число, равное квадрату суммы двух двузначных чисел, образованных двумя первыми и двумя последними цифрами числа.
Решение:
Обозначим двузначное число, образованное первыми двумя цифрами искомого числа $N$, через $а$, а число, образованное его двумя последними цифрами, - через $b$. В таком случае $N = 100a + b$, так что условие задачи дает
$100a + b = (a+b)^2$,
или
$99a = (a+b)^2 - (a+b) = (a+b)(a+b -1)$. (*)
Итак, произведение $(a+b)(a+b-1)$ должно делиться на 99. Рассмотрим теперь отдельные возможные случаи.
1°. $a+b = 99k$, $a+b-1 = \frac{a}{k}$. Так как $a$ и $b$ - двузначные числа, то $k \leq 2$; причем случай $k = 2$ сразу приводит к не удовлетворяющим основному равенству (*) значениям $а = 99$, $b = 99$. Таким образом, приходится считать, что
$k = 1, a+b = 99, a = a+b - 1 = 98, N = 9801 = (98 + 1)^2$.
2°. $a+b = 11m$, $a = a+b - 1 = 9n$, $mn = a$. В этом случае имеем $9n = 11m - 1$. Из того, что $11m - 1$ делится на 9, следует, что число $m$ дает при делении на 9 остаток 5 (непосредственной проверкой убеждаемся, что если бы $m$ давало при делении на 9 какой-либо другой остаток, то $11m - 1$ не делилось бы на 9). Итак, $m = 9t + 5$, откуда следует, что $9n = 99t + 54, n = 11t + 6$. Теперь имеем:
$a = mn = (9t + 5)(11t + 6) = 99t^2 + 109t + 30$.
Так как $а$ число двузначное, то отсюда сразу вытекает, что $t = 0$. Следовательно, $а = 30$, $a=b = 11m = 55$, $b = 25$, $N = 3025 = (30+25)^2$.
3°. $a+b = 9m, a+b - 1 = 11n, mn = a$. Исследование, аналогичное тому, которое мы провели в случае 2°, дает единственный ответ $N = 2025 = (20+25)^2$.
4°. $a+b = 33m, a+b - 1 = 3n$ или $a+b = 3m, a+b - 1 = 33n$, что невозможно, так как $a+b$ и $a+b - 1$ - числа взаимно простые.
5°. $a+b - 1 = 99k$, $a+b = \frac{a}{k}$. В этом случае имеем $a+b - 1 = 99$, $a+b = 100$, $a = \frac {(a+b)(a+b - 1)}{99} = 100$ что невозможно. Итак, условию задачи удовлетворяют лишь числа 9801, 3025 и 2025.
Найти четырехзначное число, равное квадрату суммы двух двузначных чисел, образованных двумя первыми и двумя последними цифрами числа.
Решение:
Обозначим двузначное число, образованное первыми двумя цифрами искомого числа $N$, через $а$, а число, образованное его двумя последними цифрами, - через $b$. В таком случае $N = 100a + b$, так что условие задачи дает
$100a + b = (a+b)^2$,
или
$99a = (a+b)^2 - (a+b) = (a+b)(a+b -1)$. (*)
Итак, произведение $(a+b)(a+b-1)$ должно делиться на 99. Рассмотрим теперь отдельные возможные случаи.
1°. $a+b = 99k$, $a+b-1 = \frac{a}{k}$. Так как $a$ и $b$ - двузначные числа, то $k \leq 2$; причем случай $k = 2$ сразу приводит к не удовлетворяющим основному равенству (*) значениям $а = 99$, $b = 99$. Таким образом, приходится считать, что
$k = 1, a+b = 99, a = a+b - 1 = 98, N = 9801 = (98 + 1)^2$.
2°. $a+b = 11m$, $a = a+b - 1 = 9n$, $mn = a$. В этом случае имеем $9n = 11m - 1$. Из того, что $11m - 1$ делится на 9, следует, что число $m$ дает при делении на 9 остаток 5 (непосредственной проверкой убеждаемся, что если бы $m$ давало при делении на 9 какой-либо другой остаток, то $11m - 1$ не делилось бы на 9). Итак, $m = 9t + 5$, откуда следует, что $9n = 99t + 54, n = 11t + 6$. Теперь имеем:
$a = mn = (9t + 5)(11t + 6) = 99t^2 + 109t + 30$.
Так как $а$ число двузначное, то отсюда сразу вытекает, что $t = 0$. Следовательно, $а = 30$, $a=b = 11m = 55$, $b = 25$, $N = 3025 = (30+25)^2$.
3°. $a+b = 9m, a+b - 1 = 11n, mn = a$. Исследование, аналогичное тому, которое мы провели в случае 2°, дает единственный ответ $N = 2025 = (20+25)^2$.
4°. $a+b = 33m, a+b - 1 = 3n$ или $a+b = 3m, a+b - 1 = 33n$, что невозможно, так как $a+b$ и $a+b - 1$ - числа взаимно простые.
5°. $a+b - 1 = 99k$, $a+b = \frac{a}{k}$. В этом случае имеем $a+b - 1 = 99$, $a+b = 100$, $a = \frac {(a+b)(a+b - 1)}{99} = 100$ что невозможно. Итак, условию задачи удовлетворяют лишь числа 9801, 3025 и 2025.
