Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2862
2019-05-06 
а) Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом и такое, что его первые две цифры равны между собой и последние две цифры также равны между собой.
б) Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найти все такие числа.
Решение:
а) Пусть $а$ - первая, a $b$- последняя цифра искомого числа $N$. Тогда это число равно $1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b)$. Так как число $N$ является точным квадратом, то из того, что оно делится на 11, вытекает, что оно делится и на 121, т. е. $\frac{N}{11} = 100a + b$ делится на 11. Но
$100 a+b = 99a + (a+b) = 11 \cdot 9a + (a+b)$.
Следовательно, $a+b$ делится на 11. Так как на, и $a$ и $b$ не больше 9 и $а$ не равно 0, то $1 \leq a+b \leq 18$, а потому $a+b = 11$.
Отсюда
$100a + b = 11 \cdot 9a + 11 = 11 (9a + 1)$,
$\frac{N}{121} = \frac{100a+b}{11} = 9a + 1$.
Так как $N$ - точный квадрат, то $\frac{N}{121}$ - также точный квадрат. Но из чисел вида $9a+1$, где $а$ меняется от 1 до 9, только $9 \cdot 7 +1 = 64$ является точным квадратом. Следовательно, $N = 121 \cdot 64 = 7744 = 88^2$.
б) Пусть $а$ - цифра десятков этого числа, а $b$ - цифра единиц. Тогда число равно $10a + b$, а число, записанное этими же цифрами в обратном порядке, равно $10b + a$. В силу условия задачи, $10a + b + 10b + a = 11 (a+b) = k^2$.
Отсюда следует, что $k^2$ делится на 11, поэтому $a+b$ также делится на 11. Так как $a+b \leq 18$, то это возможно лишь в случае, если $a+b = 11$, $k^2 = 121$. Таким образом, искомыми числами являются
29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.
а) Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом и такое, что его первые две цифры равны между собой и последние две цифры также равны между собой.
б) Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найти все такие числа.
Решение:
а) Пусть $а$ - первая, a $b$- последняя цифра искомого числа $N$. Тогда это число равно $1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11(100a + b)$. Так как число $N$ является точным квадратом, то из того, что оно делится на 11, вытекает, что оно делится и на 121, т. е. $\frac{N}{11} = 100a + b$ делится на 11. Но
$100 a+b = 99a + (a+b) = 11 \cdot 9a + (a+b)$.
Следовательно, $a+b$ делится на 11. Так как на, и $a$ и $b$ не больше 9 и $а$ не равно 0, то $1 \leq a+b \leq 18$, а потому $a+b = 11$.
Отсюда
$100a + b = 11 \cdot 9a + 11 = 11 (9a + 1)$,
$\frac{N}{121} = \frac{100a+b}{11} = 9a + 1$.
Так как $N$ - точный квадрат, то $\frac{N}{121}$ - также точный квадрат. Но из чисел вида $9a+1$, где $а$ меняется от 1 до 9, только $9 \cdot 7 +1 = 64$ является точным квадратом. Следовательно, $N = 121 \cdot 64 = 7744 = 88^2$.
б) Пусть $а$ - цифра десятков этого числа, а $b$ - цифра единиц. Тогда число равно $10a + b$, а число, записанное этими же цифрами в обратном порядке, равно $10b + a$. В силу условия задачи, $10a + b + 10b + a = 11 (a+b) = k^2$.
Отсюда следует, что $k^2$ делится на 11, поэтому $a+b$ также делится на 11. Так как $a+b \leq 18$, то это возможно лишь в случае, если $a+b = 11$, $k^2 = 121$. Таким образом, искомыми числами являются
29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92.
