Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2861
2019-05-06 
Доказать, что если разложить дроби
$\frac{a_1}{p}, \frac{a_2}{p^2}, \frac{a_3}{p^3}, \cdots, \frac{a_n}{p^n}, \cdots$
($p$ - простое, отличное от 2 и 5, $a_1, a_2, \cdots, a_n \cdots$ - какие угодно целые числа, взаимно простые с $p$) в бесконечные периодические десятичные дроби, то несколько первых дробей (может быть, одна) будут иметь одинаковое число цифр в периоде, а каждая из последующих - в $p$ раз больше цифр в периоде, чем предыдущая.
Так, например, $\frac{1}{3} = 0, (3), \frac{4}{9} = 0, (4), \frac{10}{27} = 0,(370), \frac{80}{81} = 0,(987654320), \frac{116}{243}$ имеет 27 цифр в периоде, $\frac{653}{729}$ имеет 81 цифру в периоде, и т. д.
Решение:
Число цифр в периодах дробей $\frac{a_n}{p^n}$ и $\frac {a_{n+1}}{p^{n+1}}$ равно наименьшим целым положительным числам $k$ и $l$, таким, что $10^k - 1$ делится на $p^n$, соответственно $10^l - 1$ делится на $p^{n+1}$ (см. решение задачи 2860). Составим теперь разность
$(10^l - 1) - (10^k - 1) = 10^k (10^{l-k} - 1)$.
Из того, что эта разность делится на $p^n$, следует, что $10^{l-k} - 1$ делится на $p^n$. Покажем теперь, что из того, что $10^{l-k} - 1$ делится на $p^n$ и $10^k - 1$ делится на $p^n$, следует, что и $10^d - 1$, где $d$ есть общий наибольший делитель чисел $l - k$ и $k$, делится на $p^n$.
Действительно, пусть $l - k = qk + r$. В таком случае имеем:
$10^{l-k} - 1 = 10^{qk+r} - 1 = 10^r(10^{qk} - 1) + (10^r - 1)$.
Но $10^{qk} - 1 = (10^k)^q - 1^q$ делится на $10^{k} - 1$, т. е. делится на $p^n$ следовательно, и $10^r - 1$ делится на $p^n$. Точно так же показывается, что и $10^{r_1} - 1$, где $r_1$ есть остаток от деления $k$ на $r$, делится на $p^n$; что $10^{r_2} - 1$, где $r_2$ есть остаток от деления $r$ на $r_1$ делится на $р^n$; что $10^{r_3} - 1$, где $r_3$ есть остаток от деления $r_1$ на $r_2$, делится на $p^n$, и т. д.). Но нетрудно показать, что ряд чисел $r, r_1, r_2, \cdots$ должен закончиться числом $d$. Действительно, так как $l-k$ и $k$ делятся на $d$, то и $r = (l - k) - qk$ делится на $d$ так как $k$ и $r$ делятся на $d$, то и $r = (l-k) - qk$ делится на $d$ так как $r$ и $r_1$ делятся на $d$, то и $r_2$ делится на $d$, и т. д.; следовательно, все числа нашего ряда делятся на $d$. С другой стороны, если последнее число в этом ряду есть $r_k$ (т. е. делится на $r_{k-1}$, так что следующий за $r_k$ остаток уже равен нулю), то $r_{k-1}$ делится на $r_k$; $r_{k-2}$ делится на $r_k$ (ибо $r_{k-1}$ и $r_k$ делятся на $r_k$); $r_{k-3}$ делится на $r_k$ (ибо $r_{k-2}$ и $r_{k-1}$ делятся на $r_к$), и т. д.; наконец, $k$ и $l - k$ делятся на $r_k$. Но в таком случае неравенство $r_k > d$ противоречило бы тому, что $d$ есть общий наибольший делитель $l-k$ и $k$.
По условию $k$ есть наименьшее целое число, такое, что $10^k - 1$ делится на $р^n$. Поэтому из того, что $10^d - 1$ тоже делится на $р^n$, следует что $d = k, l-k$ кратно $k$ и, значит, $l$ кратно $k: l = km$.
Разложим теперь $10^l - 1$ на множители:
$10^l - 1 = 10^{km} - 1 = (10^k - 1)(10^{(m-1)k} + (10^{(m-2)k} + \cdots + 10^k + 1)$.
Так как $10^k - 1$ делится на $p^n$, то $10^k$ дает при делении на $p^n$ остаток 1, откуда следует, что и $10^{2k} = 10^k \cdot 10^k$ дает при делении на $p^n$ остаток 1 и $10^{3k} = 10^{2k} \cdot 10^k$ дает при делении на $p^n$ остаток 1, и т. д. Следовательно, каждый член суммы, стоящей в скобках, дает при делении на $p^n$ остаток 1 и, таким образом, вся сумма дает остаток $m$. Отсюда следует, что если $10^k - 1$ не делилось на $p^{n+1}$, то наименьшее значение $l$, такое, что $10^l - 1$ делится на $p^{n+1}$, равно $pk$ при этом $10^pk - 1$ делится на $p^{n+1}$, но не делится на $p^{n-2}$ (ибо выражение в скобках не делится на $p^2$).
Отсюда и вытекает утверждение задачи.
Доказать, что если разложить дроби
$\frac{a_1}{p}, \frac{a_2}{p^2}, \frac{a_3}{p^3}, \cdots, \frac{a_n}{p^n}, \cdots$
($p$ - простое, отличное от 2 и 5, $a_1, a_2, \cdots, a_n \cdots$ - какие угодно целые числа, взаимно простые с $p$) в бесконечные периодические десятичные дроби, то несколько первых дробей (может быть, одна) будут иметь одинаковое число цифр в периоде, а каждая из последующих - в $p$ раз больше цифр в периоде, чем предыдущая.
Так, например, $\frac{1}{3} = 0, (3), \frac{4}{9} = 0, (4), \frac{10}{27} = 0,(370), \frac{80}{81} = 0,(987654320), \frac{116}{243}$ имеет 27 цифр в периоде, $\frac{653}{729}$ имеет 81 цифру в периоде, и т. д.
Решение:
Число цифр в периодах дробей $\frac{a_n}{p^n}$ и $\frac {a_{n+1}}{p^{n+1}}$ равно наименьшим целым положительным числам $k$ и $l$, таким, что $10^k - 1$ делится на $p^n$, соответственно $10^l - 1$ делится на $p^{n+1}$ (см. решение задачи 2860). Составим теперь разность
$(10^l - 1) - (10^k - 1) = 10^k (10^{l-k} - 1)$.
Из того, что эта разность делится на $p^n$, следует, что $10^{l-k} - 1$ делится на $p^n$. Покажем теперь, что из того, что $10^{l-k} - 1$ делится на $p^n$ и $10^k - 1$ делится на $p^n$, следует, что и $10^d - 1$, где $d$ есть общий наибольший делитель чисел $l - k$ и $k$, делится на $p^n$.
Действительно, пусть $l - k = qk + r$. В таком случае имеем:
$10^{l-k} - 1 = 10^{qk+r} - 1 = 10^r(10^{qk} - 1) + (10^r - 1)$.
Но $10^{qk} - 1 = (10^k)^q - 1^q$ делится на $10^{k} - 1$, т. е. делится на $p^n$ следовательно, и $10^r - 1$ делится на $p^n$. Точно так же показывается, что и $10^{r_1} - 1$, где $r_1$ есть остаток от деления $k$ на $r$, делится на $p^n$; что $10^{r_2} - 1$, где $r_2$ есть остаток от деления $r$ на $r_1$ делится на $р^n$; что $10^{r_3} - 1$, где $r_3$ есть остаток от деления $r_1$ на $r_2$, делится на $p^n$, и т. д.). Но нетрудно показать, что ряд чисел $r, r_1, r_2, \cdots$ должен закончиться числом $d$. Действительно, так как $l-k$ и $k$ делятся на $d$, то и $r = (l - k) - qk$ делится на $d$ так как $k$ и $r$ делятся на $d$, то и $r = (l-k) - qk$ делится на $d$ так как $r$ и $r_1$ делятся на $d$, то и $r_2$ делится на $d$, и т. д.; следовательно, все числа нашего ряда делятся на $d$. С другой стороны, если последнее число в этом ряду есть $r_k$ (т. е. делится на $r_{k-1}$, так что следующий за $r_k$ остаток уже равен нулю), то $r_{k-1}$ делится на $r_k$; $r_{k-2}$ делится на $r_k$ (ибо $r_{k-1}$ и $r_k$ делятся на $r_k$); $r_{k-3}$ делится на $r_k$ (ибо $r_{k-2}$ и $r_{k-1}$ делятся на $r_к$), и т. д.; наконец, $k$ и $l - k$ делятся на $r_k$. Но в таком случае неравенство $r_k > d$ противоречило бы тому, что $d$ есть общий наибольший делитель $l-k$ и $k$.
По условию $k$ есть наименьшее целое число, такое, что $10^k - 1$ делится на $р^n$. Поэтому из того, что $10^d - 1$ тоже делится на $р^n$, следует что $d = k, l-k$ кратно $k$ и, значит, $l$ кратно $k: l = km$.
Разложим теперь $10^l - 1$ на множители:
$10^l - 1 = 10^{km} - 1 = (10^k - 1)(10^{(m-1)k} + (10^{(m-2)k} + \cdots + 10^k + 1)$.
Так как $10^k - 1$ делится на $p^n$, то $10^k$ дает при делении на $p^n$ остаток 1, откуда следует, что и $10^{2k} = 10^k \cdot 10^k$ дает при делении на $p^n$ остаток 1 и $10^{3k} = 10^{2k} \cdot 10^k$ дает при делении на $p^n$ остаток 1, и т. д. Следовательно, каждый член суммы, стоящей в скобках, дает при делении на $p^n$ остаток 1 и, таким образом, вся сумма дает остаток $m$. Отсюда следует, что если $10^k - 1$ не делилось на $p^{n+1}$, то наименьшее значение $l$, такое, что $10^l - 1$ делится на $p^{n+1}$, равно $pk$ при этом $10^pk - 1$ делится на $p^{n+1}$, но не делится на $p^{n-2}$ (ибо выражение в скобках не делится на $p^2$).
Отсюда и вытекает утверждение задачи.
