Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2860
2019-05-06 
Дробь $\frac{q}{p}$ - с нечетным простым знаменателем $p \neq 5$ разложена в бесконечную периодическую десятичную дробь. Доказать, что если число цифр в периоде дроби четно, то среднее арифметическое всех цифр периода равно 4,5 (т. е. совпадает со средним арифметическим всех цифр $0, 1,2,\cdots, 9$ это означает, что «большие» и «маленькие» цифры встречаются в периоде дроби одинаково часто). Если же число цифр в периоде дроби нечетно, то среднее арифметическое всех цифр обязательно отлично от 4,5.
Решение:
Рассмотрим, как образуется разложение простой дроби $\frac{q}{p}$ в периодическую десятичную дробь
$\frac{q}{p} = \overline {A, a_1a_2 \cdots a_ka_1a_2 \cdots a_ka_1a_2 \cdots}$
(здесь $А$ - целое число, а $a_1, a_2, \cdots, a_k$ - цифры периода дроби). Очевидно, что $А$ есть частное от деления $q$ на $p$:
$q = Ap + q_1$,
где остаток $q_1$ меньший $p$. Далее $\overline {Aa_1}$ есть частное от деления $10q$ на $р$ ($\overline {Aa_1}$ составлено из цифр числа $А$ и цифры $a_1$):
$10q = \overline {Aa_1} \cdot p + q_2$, где $q_2 < p$.
Точно так же
$10^2 \cdot q = \overline {Aa_1a_2} \cdot p + q_3, \cdots, 10^k q = \overline {Aa_1a_2 \cdots a_k} \cdot p + q_{k+1}, \cdots$
Период дроби начнется снова в тот момент, когда при делении какого-либо числа $10^kq$ на $p$ мы получим тот же остаток $q_{k+1} = q_1$, что и при делении числа $q$ на $р$. Таким образом, число $k$ цифр в периоде дроби определится как наименьшая степень 10, такая, что $10^k q$ дает при делении на $p$ тот же самый остаток, что и $q$. Последнее означает, что разность $10^k q - q = (10^k - 1) q$ делится на $p$ или что разность $10^k - 1$ делится на $p$ (ибо $q$, разумеется, взаимно просто с $p$).
Предположим теперь, что $k$ четно: $k = 2l$; из того, что разность $10^{2l} - 1 = (10^l - 1)(10^l + 1)$ делится на $p$, следует, что либо $10^l - 1$ делится на $p$, либо $10^l + 1$ делится па $p$. Но $10^l - 1$ не может делиться на $p$, так как в противном случае $10^l$ давало бы при делении на $p$ тот же самый остаток, что и $q$, и период дроби $\frac{q}{p}$ равнялся бы $l$, а не $k = 2l$. Таким образом, мы заключаем, что $10^l + 1$ делится на $p$.
Из последнего результата следует, что сумма $\frac{10^l q}{p} + \frac{q}{p}$ есть целое число. Но
$\frac{10^l q}{p} + \frac{q}{p} = \overline {Aa_1a_2, \cdots a_l, a_{l+1}a_{l+2} \cdots a_{2l}a_1a_2 \cdots a_l \cdots} + \overline{A, a_1a_2 \cdots a_la_{l+1} \cdots a_{2l} \cdots}$
таким образом, сумма дробей
$\overline {0, a_{l+1}a_{l+2} \cdots a_{2l}, a_1a_2 \cdots a_l \cdots} + \overline{0, a_1a_2 \cdots a_la_{l+1} \cdots a_{2l} \cdots}$
есть целое число. Так как каждая из этих дробей меньше 1 и больше нуля, то эта сумма должна равняться $1 = 0,999 \cdots$, что возможно только в том случае, если
$a_1 + a_{l+1} = 9, a_2 + a_{l+2} = 9, \cdots, a_l + a_2l = 9$.
Из последних соотношений сразу следует, что
$\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_{2l}}{2l} = \frac{9}{2}$.
Если же $k$ нечетно, то равенство $\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k} = \frac{9}{2}$, очевидно, невозможно, так как знаменатель дроби, стоящей в левой части этого равенства, не делится на 2.
Дробь $\frac{q}{p}$ - с нечетным простым знаменателем $p \neq 5$ разложена в бесконечную периодическую десятичную дробь. Доказать, что если число цифр в периоде дроби четно, то среднее арифметическое всех цифр периода равно 4,5 (т. е. совпадает со средним арифметическим всех цифр $0, 1,2,\cdots, 9$ это означает, что «большие» и «маленькие» цифры встречаются в периоде дроби одинаково часто). Если же число цифр в периоде дроби нечетно, то среднее арифметическое всех цифр обязательно отлично от 4,5.
Решение:
Рассмотрим, как образуется разложение простой дроби $\frac{q}{p}$ в периодическую десятичную дробь
$\frac{q}{p} = \overline {A, a_1a_2 \cdots a_ka_1a_2 \cdots a_ka_1a_2 \cdots}$
(здесь $А$ - целое число, а $a_1, a_2, \cdots, a_k$ - цифры периода дроби). Очевидно, что $А$ есть частное от деления $q$ на $p$:
$q = Ap + q_1$,
где остаток $q_1$ меньший $p$. Далее $\overline {Aa_1}$ есть частное от деления $10q$ на $р$ ($\overline {Aa_1}$ составлено из цифр числа $А$ и цифры $a_1$):
$10q = \overline {Aa_1} \cdot p + q_2$, где $q_2 < p$.
Точно так же
$10^2 \cdot q = \overline {Aa_1a_2} \cdot p + q_3, \cdots, 10^k q = \overline {Aa_1a_2 \cdots a_k} \cdot p + q_{k+1}, \cdots$
Период дроби начнется снова в тот момент, когда при делении какого-либо числа $10^kq$ на $p$ мы получим тот же остаток $q_{k+1} = q_1$, что и при делении числа $q$ на $р$. Таким образом, число $k$ цифр в периоде дроби определится как наименьшая степень 10, такая, что $10^k q$ дает при делении на $p$ тот же самый остаток, что и $q$. Последнее означает, что разность $10^k q - q = (10^k - 1) q$ делится на $p$ или что разность $10^k - 1$ делится на $p$ (ибо $q$, разумеется, взаимно просто с $p$).
Предположим теперь, что $k$ четно: $k = 2l$; из того, что разность $10^{2l} - 1 = (10^l - 1)(10^l + 1)$ делится на $p$, следует, что либо $10^l - 1$ делится на $p$, либо $10^l + 1$ делится па $p$. Но $10^l - 1$ не может делиться на $p$, так как в противном случае $10^l$ давало бы при делении на $p$ тот же самый остаток, что и $q$, и период дроби $\frac{q}{p}$ равнялся бы $l$, а не $k = 2l$. Таким образом, мы заключаем, что $10^l + 1$ делится на $p$.
Из последнего результата следует, что сумма $\frac{10^l q}{p} + \frac{q}{p}$ есть целое число. Но
$\frac{10^l q}{p} + \frac{q}{p} = \overline {Aa_1a_2, \cdots a_l, a_{l+1}a_{l+2} \cdots a_{2l}a_1a_2 \cdots a_l \cdots} + \overline{A, a_1a_2 \cdots a_la_{l+1} \cdots a_{2l} \cdots}$
таким образом, сумма дробей
$\overline {0, a_{l+1}a_{l+2} \cdots a_{2l}, a_1a_2 \cdots a_l \cdots} + \overline{0, a_1a_2 \cdots a_la_{l+1} \cdots a_{2l} \cdots}$
есть целое число. Так как каждая из этих дробей меньше 1 и больше нуля, то эта сумма должна равняться $1 = 0,999 \cdots$, что возможно только в том случае, если
$a_1 + a_{l+1} = 9, a_2 + a_{l+2} = 9, \cdots, a_l + a_2l = 9$.
Из последних соотношений сразу следует, что
$\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_{2l}}{2l} = \frac{9}{2}$.
Если же $k$ нечетно, то равенство $\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k} = \frac{9}{2}$, очевидно, невозможно, так как знаменатель дроби, стоящей в левой части этого равенства, не делится на 2.
