ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что для любых точек А, В, С, D, Е на плоскости справедливо неравенство
$AB + CD + DE + EC \leq AC + AD + AE + BC + BD + BE$.


Решение:



Заметим, что если точки А, В, С, D, Е лежат на одной прямой, то неравенство выполнено. Действительно, пусть для определенности точка Е лежит между точками С и D, тогда имеем
$(AC + AD) + (BC + BD + AE + BE) \geq CD + CD + AB =$
$= (CE + ED) + CD + AB$,
Фиксируем некоторую прямую $l_{0}$ на плоскости и точку О на ней. Обозначим через $l_{\phi}$ образ прямой $l_{0}$ при повороте на угол $\phi$ против часовой стрелки вокруг точки О, а через $X_{\phi}$ - проекцию произвольной точки X на прямую $l_{\phi}$. Тогда для любого отрезка ХУ, параллельного некоторой прямой $l_{\psi}$ имеет место равенство
$X_{\phi}Y_{\phi} = XY \cdot |\cos (\psi - \phi)|$
(рис.), из которого получаем
$\int_{0}^{\pi} X_{\phi}Y_{\phi}d \phi = XY \int_{0}^{\pi} |\cos(\phi - \psi)| d \phi = XY \int_{- \psi}^{\pi - \psi} |\cos \chi| d \chi =$
$= XY \int_{0}^{\pi} |\cos \chi| d \chi = 2XY \int_{0}^{\pi/2} \cos \chi d \chi = 2XY$
(ибо интеграл $\pi$-периодической функции $|\cos \chi|$ на отрезке длины $\pi$ не зависит от расположении этого отрезка на числовой оси). Следовательно, интегрируя по $\phi$ в пределах от 0 до $\pi$ обе части установленного выше неравенства для проекций $A_{\phi}, B_{\phi}, C_{\phi}, D_{\phi}, E_{\phi}$ данных точек на прямую $l_{\phi}$
$A_{\phi}B_{\phi} + C_{\phi}D_{\phi} + D_{\phi}E_{\phi} + E_{\phi}C_{\phi} \leq A_{\phi}C_{\phi} + A_{\phi}D_{\phi} + A_{\phi}E_{\phi} +$
$+ B_{\phi}C_{\phi} + B_{\phi}D_{\phi} + B_{\phi}E_{\phi}$,
получаем неравенство
$2AB + 2CD + 2DE + 2EC \leq 2AC + 2AD + 2AE + 2BC + 2BD + 2BE$,
равносильное требуемому.