ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Пусть $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ - какие-то целые положительные числа, такие, что каждое из этих чисел меньше 1000, а общее наименьшее кратное любых двух чисел больше 1000. Доказать, что сумма обратных величин чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ меньше двух.


Решение:


Первое решение. Если число, $a$ заключено в интервале $\frac{1000}{m} \geq a > \frac{1000}{m+1}$, то всего имеется, очевидно, $m$ целых чисел, не превосходящих 1000, кратных $a$ (а именно $a, 2a, 3a, \cdots, ma$). Поэтому если мы обозначим через $k_1$ число тех из наших чисел, которые заключены между 1000 и $\frac{1000}{2}$ через $k_2$ - число чисел, заключенных между $\frac{1000}{2}$ и $\frac{1000}{3}$; через $k_3$ - число чисел, заключенных между $\frac{1000}{3}$ и $\frac{1000}{4}$ и т. д., то мы будем иметь всего

$k_1 + 2k_2 + 3k_3 + \cdots$

чисел, не превосходящих 1000 и кратных хотя бы одному из наших чисел. Но по условию задачи все эти кратные различны; следовательно,

$k_1 + 2k_2 + 3k_3 + \cdots < 1000$.

Теперь остается заметить, что сумма обратных величин всех наших чисел меньше чем

$k_1 \frac {1}{ \frac{1000}{2}} + k_2 \frac {1}{ \frac{1000}{3}} + k_3 \frac {1}{ \frac{1000}{4}} + \cdots = \frac {2k_1 + 3k_2 + 4k_3 + \cdots}{1000}$

(здесь мы заменили $k_1$ наибольших из наших чисел на $\frac{1000}{2}$; следующие $k_2$ чисел – на $\frac{1000}{3}$; следующие $k_3$ чисел на $\frac{1000}{4}$ и т. д. Но

$2k_1 + 3k_2 + 4k_3 + \cdots = (k_1 + k_2 + k_3 + \cdots) + (k_1 + k_2 + k_3 + \cdots) = (k_1 + 2k_2 + 3k_3 + \cdots) + n < 1000 + n < 2000$;

следовательно, сумма обратных величин всех наших чисел меньше 2.

Второе решение. Приведем здесь еще один изящный вариант того же рассуждения. Число членов ряда $1, 2, \cdots, 1000$, делящихся на целое число $a_k$, очевидно, равно целой части $\left [ \frac{1000}{a_k} \right ]$ дроби $\left [ \frac{1000}{a_k} \right ]$. Так как наименьшее общее кратное любых двух из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ больше 1000, то среди чисел $1,2,3, \cdots, 1000$ не найдется ни одного, делящегося одновременно на два из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$. Отсюда вытекает, что число членов ряда $1,2,3, \cdots, 1000$, делящихся хотя бы на одно из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ равно сумме

$\left [ \frac{1000}{a_1} \right ] + \left [ \frac{1000}{a_2} \right ] + \left [ \frac{1000}{a_3} \right ] + \cdots \left [ \frac{1000}{a_n} \right ]$.

Так как в ряду $1,2,3, \cdots, 1000$ всего имеется 1000 чисел, то должно быть

$\left [ \frac{1000}{a_1} \right ] + \left [ \frac{1000}{a_2} \right ] + \left [ \frac{1000}{a_3} \right ] + \cdots \left [ \frac{1000}{a_n} \right ] \leq 1000$.

Но целая часть дроби отличается от самой дроби меньше чем на единицу, т. е.

$\left [ \frac{1000}{a_1} \right ] > \frac{1000}{a_1} - 1, \left [ \frac{1000}{a_2} \right ] > \frac{1000}{a_2} - 1, \cdots \left [ \frac{1000}{a_n} \right ] > \frac{1000}{a_n} - 1$.

Следовательно,

$\left ( \frac{1000}{a_1} - 1 \right ) + \left ( \frac{1000}{a_2} - 1 \right ) + \cdots + \left ( \frac{1000}{a_n} - 1 \right ) < 1000$,

т. е.

$\frac{1000}{a_1} + \frac{1000}{a_2} + \frac{1000}{a_3} + \cdots + \frac{1000}{a_n} < 1000 + n < 2000$,

и таким образом,

$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < 2$.