ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Пусть $m$ и $n$ - два взаимно простых целых положительных числа. Доказать, что если дроби:

$\frac {m+n}{m}, \frac {2(m+n)}{m}, \frac {3(m+n)}{m}, \cdots, \frac {(m-1)(m+n)}{m}$;
$\frac {m+n}{n}, \frac {2(m+n)}{n}, \frac {3(m+n)}{n}, \cdots \frac {(n-1)(m+n)}{n}$

изобразить точками на числовой оси, то в каждый из интервалов $(1, 2), (2, 3), (3, 4), \cdots (m+n-2, m+n -1)$ оси попадает ровно одна из дробей (см. рис., где положено $m = 3, n = 4$).




Решение:


Прежде всего, очевидно, что ни одна из рассматриваемых дробей не равна целому числу: действительно, если бы, например какая-то дробь $\frac {k(m+n)}{m}$ ($к$ - одно из чисел $1, 2, 3, \cdots, m-1$) была целым числом, то $m+n$ должно было бы иметь общие делители с числом $m$ (ибо $k < m$ и не может делиться на $m$); но тогда и число $n = (m+n) - m$ не было бы взаимно просто с $m$. Далее никакие две из этих дробей не равны друг другу: если бы было

$\frac {k(m+n)}{m} \frac {l(m+n)}{n}$

($к$ - одно из чисел $1, 2, \cdots, m-1$; $l$ - одно из чисел $1, 2, \cdots, n- 1$), то мы имели бы

$\frac{k}{m} = \frac{l}{n}$, $m = \frac{k}{l} n$ и снова $m$ и $n$ не были бы взаимно простыми (так как $l < n$ и не может делиться на $n$).

Рассмотрим теперь некоторое целое положительное число $A$, меньшее $m+n$. Дроби

$\frac{m+n}{m}, \frac {2(m+n)}{m}, \cdots, \frac {k(m+n)}{m}$

остаются меньшими $A$, пока $k(m+n) < A_m$, или $k < \frac{A_m}{m+n}$; число таких дробей, очевидно, равно целой части $\left [ \frac{A_m}{m+n} \right ]$ числа $\frac{A_m}{m+n}$. Точно также дроби

$\frac{m+n}{n}, \frac {2(m+n)}{n}, \cdots, \frac {l(m+n)}{n}$

остаются меньшими $A$, пока $l < \frac {A_n}{m+n}$; число таких дробей равно целой части $\left [ \frac{A_n}{m+n} \right ]$ числа $\frac {A_n}{m+n}$. Числа $\frac {A_m}{m+n}$ и $\frac {A_n}{m+n}$ оба не целые, ибо $m$, $n$ и $m+n$ попарно взаимно просты; сумма этих двух чисел равна $A$:

$\frac{A_m}{m+n} + \frac{A_n}{m+n} = A$.

Но если сумма двух чисел $\alpha$ и $\beta$, не являющихся целыми, равна целому числу $A$, то

$[\alpha] + [\beta] = A - 1$;

доказательство этого предложения сразу следует из рис. Таким образом,

$\left [ \frac{A_m}{m+n} \right ] + \left [ \frac{A_n}{m+n} \right ] = A - 1$,

откуда следует, что в интервале (0, A) числовой оси имеется ровно $A - 1$ наших дробей.



Из доказанного сразу вытекает утверждение задачи. Действительно, положим сначала $A = 1$; мы получим, что в интервале (0, 1) вовсе нет наших дробей. Далее, пусть $A = 2$; из того, что в интервале (0, 2) имеется одна дробь, вытекает, что одна дробь есть в интервале (1, 2). Затем положим $A = 3$; из того, что в интервале (0, 3) содержатся две дроби, т. е. на одну больше, чем в интервале (0, 2), вытекает, что в интервале (2, 3) имеется одна из наших дробей. Продолжая рассуждать таким же образом, мы полностью докажем требуемое предложение.