Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2856
2019-05-06 
Пусть $N$ - произвольное целое положительное число. Доказать, что существует целое число, кратное $N$, которое в десятичной системе счисления записывается одними лишь цифрами 0 и 1. При этом, если $N$ взаимно просто с 10 (т.е. не делится ни на 2, ни на 5), то существует делящееся на $N$ число, составленное из одних только единиц (если $N$ не взаимно просто с 10, то, разумеется, никакое число вида $\underbrace{11 \cdots 1}_{n \:раз}$ не может делиться на $N$).
Решение:
Первое решение. Рассмотрим остатки от деления чисел
$1, 11, 111, \cdots, \underbrace{1111 \cdots 1}_{N \:единиц}$
на $N$. Так как этих чисел $N$, а различных не равных нулю остатков при делении на $N$ может получиться только $N-1$, то если ни одно из этих чисел не делится на $N$ (противное доказывало бы предложение задачи), то какие-то два из них, например
$K = \underbrace{11 \cdots 1}_{k \:единиц}$ и $L = \underbrace{1111 \cdots 1}_{l \:единиц} (l > k)$,
дают при делении на $N$ один и тот же остаток. В таком случае разность
$L - K = \underbrace{11 \cdots 1}_{l-k \:единиц} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}$
делится на $N$.
Если $N$ взаимно просто с 10, то из делимости числа $L - K = \underbrace{11 \cdots 1}_{l-k \:единиц} \cdot 10^k$ на $N$ следует, что число $\underbrace{11 \cdots 1}_{l-k \:единиц}$ делится на $N$.
Второе решение. Рассмотрим разложение числа $\frac{1}{N}$ в периодическую десятичную дробь:
$\frac{1}{N} = 0, \overline {b_1b_2 \cdots b_k (a_1a_2 \cdots a_l)}$ (где $\overline {a_1a_2 \cdots a_l}$ - период).
По правилу обращения периодических десятичных дробей в обыкновенные, мы будем иметь:
$\frac{1}{N} = \frac {\overline {b_1b_2 \cdots b_ka_1a_2 \cdots a_l - b_1b_2 \cdots b_k}}{\underbrace{999 \cdots 9}_{l \:девяток} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}}$.
Отсюда вытекает, что число $A = \underbrace{999 \cdots 9}_{l \:девяток} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}$ делится на $N$. Но
$A = 9A_1$ где $A_1 = \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:единиц} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}$. Рассмотрим теперь число
$B = \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:цифр} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:цифр} \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:цифр} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:цифр} \cdots \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:цифр} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:цифр}$,
получающееся, если число $a_1$ выписать 9 раз подряд. Очевидно, что $B$ равно произведению числа $a_1$ на число
$\underbrace{\underbrace{100 \cdots 0}_{(l+k) \:цифр} \underbrace{100 \cdots 0}_{(l+k) \:цифр} \cdots \underbrace{100 \cdots 0}_{(l+k) \:цифр} }_{8 \:раз}$,
делящееся на 9 (по признаку делимости на 9). Следовательно, число $B$, состоящее из одних единиц и нулей, делится на $9A_1 = A$, а значит, и на $N$.
Если $N$ взаимно просто с 10, то $\frac{1}{N}$ при обращении в десятичную дробь дает дробь чисто периодическую, так что $B$ в этом случае будет состоять из одних единиц.
Примечание. Ясно, что если запись числа $А$ состоит из $р$ единиц, а запись $B$ - из $p$ единиц, то $B$ делится на $А$; поэтому (в предположении, что $N$ взаимно просто с 10; впрочем, это верно и в общем случае) существует даже бесконечно много чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Пусть $N$ - произвольное целое положительное число. Доказать, что существует целое число, кратное $N$, которое в десятичной системе счисления записывается одними лишь цифрами 0 и 1. При этом, если $N$ взаимно просто с 10 (т.е. не делится ни на 2, ни на 5), то существует делящееся на $N$ число, составленное из одних только единиц (если $N$ не взаимно просто с 10, то, разумеется, никакое число вида $\underbrace{11 \cdots 1}_{n \:раз}$ не может делиться на $N$).
Решение:
Первое решение. Рассмотрим остатки от деления чисел
$1, 11, 111, \cdots, \underbrace{1111 \cdots 1}_{N \:единиц}$
на $N$. Так как этих чисел $N$, а различных не равных нулю остатков при делении на $N$ может получиться только $N-1$, то если ни одно из этих чисел не делится на $N$ (противное доказывало бы предложение задачи), то какие-то два из них, например
$K = \underbrace{11 \cdots 1}_{k \:единиц}$ и $L = \underbrace{1111 \cdots 1}_{l \:единиц} (l > k)$,
дают при делении на $N$ один и тот же остаток. В таком случае разность
$L - K = \underbrace{11 \cdots 1}_{l-k \:единиц} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}$
делится на $N$.
Если $N$ взаимно просто с 10, то из делимости числа $L - K = \underbrace{11 \cdots 1}_{l-k \:единиц} \cdot 10^k$ на $N$ следует, что число $\underbrace{11 \cdots 1}_{l-k \:единиц}$ делится на $N$.
Второе решение. Рассмотрим разложение числа $\frac{1}{N}$ в периодическую десятичную дробь:
$\frac{1}{N} = 0, \overline {b_1b_2 \cdots b_k (a_1a_2 \cdots a_l)}$ (где $\overline {a_1a_2 \cdots a_l}$ - период).
По правилу обращения периодических десятичных дробей в обыкновенные, мы будем иметь:
$\frac{1}{N} = \frac {\overline {b_1b_2 \cdots b_ka_1a_2 \cdots a_l - b_1b_2 \cdots b_k}}{\underbrace{999 \cdots 9}_{l \:девяток} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}}$.
Отсюда вытекает, что число $A = \underbrace{999 \cdots 9}_{l \:девяток} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}$ делится на $N$. Но
$A = 9A_1$ где $A_1 = \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:единиц} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:нулей}$. Рассмотрим теперь число
$B = \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:цифр} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:цифр} \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:цифр} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:цифр} \cdots \underbrace{11 \cdots 1}_{l \:цифр} \underbrace{00 \cdots 0}_{k \:цифр}$,
получающееся, если число $a_1$ выписать 9 раз подряд. Очевидно, что $B$ равно произведению числа $a_1$ на число
$\underbrace{\underbrace{100 \cdots 0}_{(l+k) \:цифр} \underbrace{100 \cdots 0}_{(l+k) \:цифр} \cdots \underbrace{100 \cdots 0}_{(l+k) \:цифр} }_{8 \:раз}$,
делящееся на 9 (по признаку делимости на 9). Следовательно, число $B$, состоящее из одних единиц и нулей, делится на $9A_1 = A$, а значит, и на $N$.
Если $N$ взаимно просто с 10, то $\frac{1}{N}$ при обращении в десятичную дробь дает дробь чисто периодическую, так что $B$ в этом случае будет состоять из одних единиц.
Примечание. Ясно, что если запись числа $А$ состоит из $р$ единиц, а запись $B$ - из $p$ единиц, то $B$ делится на $А$; поэтому (в предположении, что $N$ взаимно просто с 10; впрочем, это верно и в общем случае) существует даже бесконечно много чисел, удовлетворяющих условию задачи.
