Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2855
2019-05-06 
Шахматист для тренировки играет не менее одной партии в день; при этом, чтобы не переутомиться, он играет не более чем 12 партий в неделю. Доказать, что можно найти несколько таких последовательных дней, в течение которых он сыграет ровно 20 партий.
Решение:
Предположим, что за какой-то понедельник шахматист сыграл $a_1$ партий, за понедельник и вторник - $a_2$ партий, за три дня - $a_3$ партий, и т. д., наконец, за 77 дней - $a_{77}$ партии. Рассмотрим теперь следующую совокупность чисел: $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{77}$, $a_1 + 20, a_2 + 20, a_3 + 20, \cdots, a_{77} + 20$.
Всего мы имеем здесь $2 \cdot 77 = 154$ числа, каждое из которых не больше чем $132 + 20 = 152$ (число $a_77$ не больше чем $11 \cdot 12 = 132$, так как 77 дней - это ровно 11 недель); следовательно, по крайней мере, два из этих 154 чисел равны между собой. Но никакие два числа из ряда $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{77}$ не могут быть равны между собой (ибо шахматист каждый день играет не меньше одной партии); точно так же не могут быть равны между собой никакие два числа из ряда $a_1 + 20, a_2 + 20, a_3 + 20, \cdots, a_{77} + 20$. Таким образом, для каких-то $k$ и $l$ должно иметь место равенство
$a_k = a_l + 20$;
это равенство означает, что $a_k - a_l = 20$, т.е. что за $k-l$ дней, с $(l+1)$-го по $k$-й включительно, шахматист сыграл ровно 20 партий.
Шахматист для тренировки играет не менее одной партии в день; при этом, чтобы не переутомиться, он играет не более чем 12 партий в неделю. Доказать, что можно найти несколько таких последовательных дней, в течение которых он сыграет ровно 20 партий.
Решение:
Предположим, что за какой-то понедельник шахматист сыграл $a_1$ партий, за понедельник и вторник - $a_2$ партий, за три дня - $a_3$ партий, и т. д., наконец, за 77 дней - $a_{77}$ партии. Рассмотрим теперь следующую совокупность чисел: $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{77}$, $a_1 + 20, a_2 + 20, a_3 + 20, \cdots, a_{77} + 20$.
Всего мы имеем здесь $2 \cdot 77 = 154$ числа, каждое из которых не больше чем $132 + 20 = 152$ (число $a_77$ не больше чем $11 \cdot 12 = 132$, так как 77 дней - это ровно 11 недель); следовательно, по крайней мере, два из этих 154 чисел равны между собой. Но никакие два числа из ряда $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{77}$ не могут быть равны между собой (ибо шахматист каждый день играет не меньше одной партии); точно так же не могут быть равны между собой никакие два числа из ряда $a_1 + 20, a_2 + 20, a_3 + 20, \cdots, a_{77} + 20$. Таким образом, для каких-то $k$ и $l$ должно иметь место равенство
$a_k = a_l + 20$;
это равенство означает, что $a_k - a_l = 20$, т.е. что за $k-l$ дней, с $(l+1)$-го по $k$-й включительно, шахматист сыграл ровно 20 партий.
