Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2853
2019-05-06 
Из цифр 1 и 2 составлено пять 100-значных чисел; при этом известно, что у каждых двух чисел ровно в $r$ разрядах совпадают цифры, однако ни в одном разряде не совпадают все пять цифр. Доказать, что это возможно лишь в том случае, если $r$ заключено в пределах: $40 \leq r \leq 60$.
Решение:
Выпишем наши пять 100-значных чисел одно под другим; в каждом разряде (т. е. в каждом столбце) рассмотрим всевозможные пары цифр. Из 5 цифр можно, очевидно, составить 10 пар цифр; поэтому всего мы будем иметь $10 \cdot 100 = 1000$ пар цифр. При этом в каждом столбе будут встречаться обе разные цифры 1 и 2; если среди них имеется одна цифра 1 и четыре цифры 2 (или наоборот), то пар одинаковых цифр будет 6, а если в столбце имеются две цифры 1 и три цифры 2 (или наоборот), то число пар одинаковых цифр будет равно 4. Таким образом, общее число пар одинаковых цифр (по всем 100 разрядам) может колебаться в пределах от $4 \cdot 100 = 400$ до $6 \cdot 100 = 600$.
С другой стороны, если $A = \overline {a_1a_2 \cdots a_{100}}$ и $B = \overline {b_1b_2 \cdots b_100}$ - два из наших чисел, то, как мы знаем, среди пар цифр $a_1$ и $b_1$, $a_2$ и $b_2, \cdots, a_{100}$ и $b_{100}$ будет равно $r$ пар одинаковых чисел. А так как из 5 чисел можно образовать 10 пар чисел, то таким путем мы насчитаем $10r$ пар одинаковых чисел. Так мы приходим к двойному неравенству
$400 \leq 10r \leq 600$,
откуда и следует, что $40 \leq r \leq 60$.
Из цифр 1 и 2 составлено пять 100-значных чисел; при этом известно, что у каждых двух чисел ровно в $r$ разрядах совпадают цифры, однако ни в одном разряде не совпадают все пять цифр. Доказать, что это возможно лишь в том случае, если $r$ заключено в пределах: $40 \leq r \leq 60$.
Решение:
Выпишем наши пять 100-значных чисел одно под другим; в каждом разряде (т. е. в каждом столбце) рассмотрим всевозможные пары цифр. Из 5 цифр можно, очевидно, составить 10 пар цифр; поэтому всего мы будем иметь $10 \cdot 100 = 1000$ пар цифр. При этом в каждом столбе будут встречаться обе разные цифры 1 и 2; если среди них имеется одна цифра 1 и четыре цифры 2 (или наоборот), то пар одинаковых цифр будет 6, а если в столбце имеются две цифры 1 и три цифры 2 (или наоборот), то число пар одинаковых цифр будет равно 4. Таким образом, общее число пар одинаковых цифр (по всем 100 разрядам) может колебаться в пределах от $4 \cdot 100 = 400$ до $6 \cdot 100 = 600$.
С другой стороны, если $A = \overline {a_1a_2 \cdots a_{100}}$ и $B = \overline {b_1b_2 \cdots b_100}$ - два из наших чисел, то, как мы знаем, среди пар цифр $a_1$ и $b_1$, $a_2$ и $b_2, \cdots, a_{100}$ и $b_{100}$ будет равно $r$ пар одинаковых чисел. А так как из 5 чисел можно образовать 10 пар чисел, то таким путем мы насчитаем $10r$ пар одинаковых чисел. Так мы приходим к двойному неравенству
$400 \leq 10r \leq 600$,
откуда и следует, что $40 \leq r \leq 60$.
