Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2852
2019-05-06 
Доказать, что совокупность всех десятизначных чисел, записываемых исключительно цифрами 1 и 2, можно разбить на такие две группы, что запись суммы любых двух чисел из одной группы будет содержать не менее двух цифр 3.
Решение:
Отнесем к одной группе все те числа, десятичная запись которых содержит четное число единиц; все же числа, в записи которых фигурирует нечетное число единиц, составят вторую группу. Пусть $A$ и $B$ - два различных десятизначных числа из одной группы. Если записи $A$ и $B$ содержат одно и то же число $n$ единиц (где $1 \leq n \leq 9$, ведь если $n = 0$ или $n = 10$, то числа $A$ и $B$ не могут быть различными), то, предположив, что на каком-то определенном ($i$-м) месте в записи $A$ стоит цифра 1, а в записи $B$ - цифра 2, мы вынуждены будем считать, что на другом ($j$-м) месте, напротив, в записи $A$ стоит 2, а в записи $B$ - цифра 1: ведь записи обоих чисел содержат поровну единиц. Но в таком случае в записи суммы $A+B$ и на $i$-м и на $j$-м местах будет стоять цифра 3, т. е. эта запись будет содержать не меньше двух троек. Если же запись числа $A$ включает $n$ единиц, а запись $B$ содержит $m \neq n$ единиц, где, скажем $n > m$, то поскольку числа $n$ и $m$ - одинаковой четности (т. е. оба четные или оба нечетные: ведь $A$ и $B$ - числа из одной группы), то $n-m \geq 2$, и, значит, найдутся, по крайней мере, два такие места, скажем $k$-е и $l$-е, что в записи $A$ на этих местах стоит цифра 1, а в записи $B$ - цифра 2. Отсюда следует, что в записи суммы $A + B$ и на $k$-м, и на $l$-й местах (снова - не менее чем на двух местах) будет стоять цифра 3.
Доказать, что совокупность всех десятизначных чисел, записываемых исключительно цифрами 1 и 2, можно разбить на такие две группы, что запись суммы любых двух чисел из одной группы будет содержать не менее двух цифр 3.
Решение:
Отнесем к одной группе все те числа, десятичная запись которых содержит четное число единиц; все же числа, в записи которых фигурирует нечетное число единиц, составят вторую группу. Пусть $A$ и $B$ - два различных десятизначных числа из одной группы. Если записи $A$ и $B$ содержат одно и то же число $n$ единиц (где $1 \leq n \leq 9$, ведь если $n = 0$ или $n = 10$, то числа $A$ и $B$ не могут быть различными), то, предположив, что на каком-то определенном ($i$-м) месте в записи $A$ стоит цифра 1, а в записи $B$ - цифра 2, мы вынуждены будем считать, что на другом ($j$-м) месте, напротив, в записи $A$ стоит 2, а в записи $B$ - цифра 1: ведь записи обоих чисел содержат поровну единиц. Но в таком случае в записи суммы $A+B$ и на $i$-м и на $j$-м местах будет стоять цифра 3, т. е. эта запись будет содержать не меньше двух троек. Если же запись числа $A$ включает $n$ единиц, а запись $B$ содержит $m \neq n$ единиц, где, скажем $n > m$, то поскольку числа $n$ и $m$ - одинаковой четности (т. е. оба четные или оба нечетные: ведь $A$ и $B$ - числа из одной группы), то $n-m \geq 2$, и, значит, найдутся, по крайней мере, два такие места, скажем $k$-е и $l$-е, что в записи $A$ на этих местах стоит цифра 1, а в записи $B$ - цифра 2. Отсюда следует, что в записи суммы $A + B$ и на $k$-м, и на $l$-й местах (снова - не менее чем на двух местах) будет стоять цифра 3.
