Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2851
2019-05-06 
Дано $n$ чисел $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$, каждое и« которых равно +1 или -1. Доказать, что если $x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0$, то $n$ делится на 4.
Решение:
Ясно, что поскольку каждое из произведений $x_1x_2, x_2x_3, \cdots, x_nx_1$ равно +1 или -1, то сумма всех этих произведений может равняться нулю лишь в том случае, если число слагаемых в ней $n = 2m$ - четно и $m$ из этих слагаемых равны +1, a $m$ других равны - 1. Но если - 1 равны ровно $ш$ произведений из числа $x_1x_2, x_2x_3, x_3x_4, \cdots, x_{n-1}x_n, x_nx_1$ то в цепочке $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_{n-1}, x_n, x_1$ происходит $m$ перемен знаков. Отсюда уже следует, что число $m$ должно быть четным $m = 2k$, а значит, $n$ делится на 4 ($n = 4k$), ибо первое и последнее числа этой цепочки совпадают, и, значит, число перемен знаков между ними не может быть нечетным.
Ответ: Половина слагаемых рассматриваемой суммы должна равняться + 1, а вторая половина - равняться -1.
Дано $n$ чисел $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$, каждое и« которых равно +1 или -1. Доказать, что если $x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0$, то $n$ делится на 4.
Решение:
Ясно, что поскольку каждое из произведений $x_1x_2, x_2x_3, \cdots, x_nx_1$ равно +1 или -1, то сумма всех этих произведений может равняться нулю лишь в том случае, если число слагаемых в ней $n = 2m$ - четно и $m$ из этих слагаемых равны +1, a $m$ других равны - 1. Но если - 1 равны ровно $ш$ произведений из числа $x_1x_2, x_2x_3, x_3x_4, \cdots, x_{n-1}x_n, x_nx_1$ то в цепочке $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_{n-1}, x_n, x_1$ происходит $m$ перемен знаков. Отсюда уже следует, что число $m$ должно быть четным $m = 2k$, а значит, $n$ делится на 4 ($n = 4k$), ибо первое и последнее числа этой цепочки совпадают, и, значит, число перемен знаков между ними не может быть нечетным.
Ответ: Половина слагаемых рассматриваемой суммы должна равняться + 1, а вторая половина - равняться -1.
