Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2850
2019-05-06 
Пусть $i_1, i_2, \cdots, i_n$ - это числа $1, 2, \cdots, n$, но только расставленные в каком-то, вообще говоря, новом порядке. Доказать, что при $n$ четном произведение $(1-i_1) (2-i_2) (3-i_3) \cdots (n-i_n)$ может быть как четным, так и нечетным; однако при $n$ нечетном оно обязательно четно.
Решение:
Ясно, что если какое-либо число $i_k = k$, то рассматриваемое произведение равно нулю (четно), а если мы переставим в ряду чисел $1, 2, 3, 4, \cdots, 2m - 1$ каждые два соседних числа, придя к последовательности $i_1 = 2, i_2 = 1, i_3 = 4, i_4 = 3, \cdots, i_{2m-1} = 2m, i_2m = 2m - 1$, то произведение
$(1 - i_1)(2 - i_2) \cdots (2m - i_2m) = (-1) \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \cdots \cdot (-1) \cdot 1 = (-1)^m \cdot 1^m = (-1)^m$
будет нечетным, поэтому нам остается лишь показать, что при $n = 2m+1$ нечетном рассматриваемое произведение будет четным всегда.
Первое доказательство. Среди чисел $1, 2, \cdots, n = 2m+1$ будет всего $m \left ( < \frac{n}{2} = \frac{2m+1}{2} \right )$ четных (это будут числа $2, 4, \cdots, 2m$); поэтому среди чисел $i_1, i_2, \cdots, i_n$ четных чисел с нечетными номерами будет не больше чем $m$ (ибо мы имеем всего $m$ четных чисел) и нечетных чисел с четными номерами будет тоже не больше $m$ (ибо всего-то мы имеем $m$ четных номеров). Таким образом, объединение всех номеров первого и второго классов не может охватывать все $n = 2m + 1$ номеров; поэтому найдется такой номер $l$, что либо и $i_1$ и $l$ четны, либо и $i_1$ и $l$ нечетны. Но в обоих случаях разность, $i_1 - l$ будет четной; поэтому произведение всех множителей $k - i_k$, где $k = 1, 2, \cdots, 2m+1$, заведомо будет четным.
Второе доказательство. Так как сумма всех просматриваемых множителей
$(1 - i_1) + (2 - i_2) + (3 - i_3) + \cdots + (n - i_n) = (1 + 2 + 3 + \cdots + n) - (1 + 2 + 3 + \cdots + n) = 0$,
то при $n$ нечетном все эти множители не могут быть нечетными (ибо сумма нечетного числа нечетных чисел нечетна). Поэтому среди этих множителей имеется хоть один четный - а значит, их произведение четно.
Пусть $i_1, i_2, \cdots, i_n$ - это числа $1, 2, \cdots, n$, но только расставленные в каком-то, вообще говоря, новом порядке. Доказать, что при $n$ четном произведение $(1-i_1) (2-i_2) (3-i_3) \cdots (n-i_n)$ может быть как четным, так и нечетным; однако при $n$ нечетном оно обязательно четно.
Решение:
Ясно, что если какое-либо число $i_k = k$, то рассматриваемое произведение равно нулю (четно), а если мы переставим в ряду чисел $1, 2, 3, 4, \cdots, 2m - 1$ каждые два соседних числа, придя к последовательности $i_1 = 2, i_2 = 1, i_3 = 4, i_4 = 3, \cdots, i_{2m-1} = 2m, i_2m = 2m - 1$, то произведение
$(1 - i_1)(2 - i_2) \cdots (2m - i_2m) = (-1) \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \cdots \cdot (-1) \cdot 1 = (-1)^m \cdot 1^m = (-1)^m$
будет нечетным, поэтому нам остается лишь показать, что при $n = 2m+1$ нечетном рассматриваемое произведение будет четным всегда.
Первое доказательство. Среди чисел $1, 2, \cdots, n = 2m+1$ будет всего $m \left ( < \frac{n}{2} = \frac{2m+1}{2} \right )$ четных (это будут числа $2, 4, \cdots, 2m$); поэтому среди чисел $i_1, i_2, \cdots, i_n$ четных чисел с нечетными номерами будет не больше чем $m$ (ибо мы имеем всего $m$ четных чисел) и нечетных чисел с четными номерами будет тоже не больше $m$ (ибо всего-то мы имеем $m$ четных номеров). Таким образом, объединение всех номеров первого и второго классов не может охватывать все $n = 2m + 1$ номеров; поэтому найдется такой номер $l$, что либо и $i_1$ и $l$ четны, либо и $i_1$ и $l$ нечетны. Но в обоих случаях разность, $i_1 - l$ будет четной; поэтому произведение всех множителей $k - i_k$, где $k = 1, 2, \cdots, 2m+1$, заведомо будет четным.
Второе доказательство. Так как сумма всех просматриваемых множителей
$(1 - i_1) + (2 - i_2) + (3 - i_3) + \cdots + (n - i_n) = (1 + 2 + 3 + \cdots + n) - (1 + 2 + 3 + \cdots + n) = 0$,
то при $n$ нечетном все эти множители не могут быть нечетными (ибо сумма нечетного числа нечетных чисел нечетна). Поэтому среди этих множителей имеется хоть один четный - а значит, их произведение четно.
