Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 285
2014-06-07 
Точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ па окружности с центром О и радиусом 1 расположены так, что
$\overrightarrow{OA_{1}} + \overrightarrow{OA_{2}} + \cdots + \overrightarrow{OA_{n}} = 0$.
Доказать, что для любой точки В справедливо неравенство
$BA_{1} + BA_{2} + \cdots BA_{n} \geq n$.
Решение:
Обозначим
$\overrightarrow{OA_{i}} = \mathbf{a_{i}}, \overrightarrow{OB} = \mathbf{b} (i = 1, \cdots, n)$,
тогда имеем
$|a_{i}| = 1, \overrightarrow{BA_{i}} = \overrightarrow{OA_{i}} - \overrightarrow{OB} = \mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}$
и
$\sum_{i=1}^{n} BA_{i} = \sum_{i=1}^{n} |\mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}| = \sum_{i=1}^{n} |\mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}| \cdot |\mathbf{a_{i}}| \geq$
$\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}) \mathbf{a_{i}} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{a_{i}^{2}} - \mathbf{b} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{a_{i}} = n - \mathbf{b} \cdot 0 = n$,
что и требовалось доказать.
Точки $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ па окружности с центром О и радиусом 1 расположены так, что
$\overrightarrow{OA_{1}} + \overrightarrow{OA_{2}} + \cdots + \overrightarrow{OA_{n}} = 0$.
Доказать, что для любой точки В справедливо неравенство
$BA_{1} + BA_{2} + \cdots BA_{n} \geq n$.
Решение:
Обозначим
$\overrightarrow{OA_{i}} = \mathbf{a_{i}}, \overrightarrow{OB} = \mathbf{b} (i = 1, \cdots, n)$,
тогда имеем
$|a_{i}| = 1, \overrightarrow{BA_{i}} = \overrightarrow{OA_{i}} - \overrightarrow{OB} = \mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}$
и
$\sum_{i=1}^{n} BA_{i} = \sum_{i=1}^{n} |\mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}| = \sum_{i=1}^{n} |\mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}| \cdot |\mathbf{a_{i}}| \geq$
$\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{a_{i}} - \mathbf{b}) \mathbf{a_{i}} = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{a_{i}^{2}} - \mathbf{b} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{a_{i}} = n - \mathbf{b} \cdot 0 = n$,
что и требовалось доказать.
