Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2843
2019-05-06 
Пусть $x = 1, у, z$ - произвольные три числа; $x_1$ и $у_1$ и $z_1$ - абсолютные величины $|x-у|, |у-z|, |z-x|$ попарных разностей этих чисел; $x_2, у_2, z_2$ - абсолютные величины попарных разностей чисел $x_1, у_1$ и $z_1$ (т. е. числа $|x_1 - у_1|, |y_1 - z_1|, |z_1 - x_1|$); $x_3, у_3, z_3$ - абсолютные величины разностей чисел $x_2, у_2, z_2$, и т. д. Известно, что для какого-то $n$ тройка чисел $x_n, у_n, z_n$ не отличается от тройки чисел $x, у, z$. Чему равны числа $у$ и $z?
Решение:
Выясним, прежде всего, при каких числах $x$, $у$, $z$ возможно совпадение троек ($x_n$, $у_n$, $z_n$) и ($x$, $у$, $z$). Так как все тройки чисел, начиная с $x_1$, $у_1$, $z_1$, заведомо неотрицательны, то и числа $x$, $у$, $z$ должны быть неотрицательными. Условимся, далее, считать, что $x \geq y \geq z$ и $x_i \geq y_i \geq z_i$ при всех $i = 1, 2, 3, \cdots$. Поскольку, очевидно, $x_i = x_{i-1} - z_{i-1}$ при всех $i \geq 1$ (где под $x_0$ и $z_0$ понимаются числа $x$ и $z$), то $x \geq x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots$, причем, если хоть одно число $z_i (i = 0, 1, 2, \cdots$ больше нуля, то $x_{i+1} < x_i < x$ (и все $x_j$, где $j > i$, также меньше $x$); поэтому, если $x_n = x$, то $z_i = 0$ при $i = 0, 1, \cdots, n - 1$. Таким образом, должно быть $z = 0$ и $z_1 = 0$, откуда уже вытекает, что либо $y = x$ (и $z_1 = x - y = 0$), либо $y = z = 0$ (и $z_1 = y - z = 0$). Итак, мы видим, что для совпадения тройки чисел ($x$, $у$, $z$) с какой-либо тройкой ($x_n$, $у_n$, $z_n$) необходимо, чтобы исходная тройка имела (при $x = 1$) либо вид (1, 1, 0), либо вид (1, 0, 0). При этом второй случай можно сразу же откинуть, ибо от тройки (1, 0, 0) мы переходим к (отличной от исходной) тройке (1, 1, 0); поэтому, если $x = 1$ и тройка ($x$, $у$, $z$) совпадает с ($x_n$, $у_n$, $z_n$), то ($x$, $у$, $z$) - это тройка чисел (1, 1, 0) (и тройки ($x_n$, $у_n$, $z_n$) при всех $n$ имеют такое же строение).
Ответ: $(x, у, z) = (l, 1, 0)$.
Пусть $x = 1, у, z$ - произвольные три числа; $x_1$ и $у_1$ и $z_1$ - абсолютные величины $|x-у|, |у-z|, |z-x|$ попарных разностей этих чисел; $x_2, у_2, z_2$ - абсолютные величины попарных разностей чисел $x_1, у_1$ и $z_1$ (т. е. числа $|x_1 - у_1|, |y_1 - z_1|, |z_1 - x_1|$); $x_3, у_3, z_3$ - абсолютные величины разностей чисел $x_2, у_2, z_2$, и т. д. Известно, что для какого-то $n$ тройка чисел $x_n, у_n, z_n$ не отличается от тройки чисел $x, у, z$. Чему равны числа $у$ и $z?
Решение:
Выясним, прежде всего, при каких числах $x$, $у$, $z$ возможно совпадение троек ($x_n$, $у_n$, $z_n$) и ($x$, $у$, $z$). Так как все тройки чисел, начиная с $x_1$, $у_1$, $z_1$, заведомо неотрицательны, то и числа $x$, $у$, $z$ должны быть неотрицательными. Условимся, далее, считать, что $x \geq y \geq z$ и $x_i \geq y_i \geq z_i$ при всех $i = 1, 2, 3, \cdots$. Поскольку, очевидно, $x_i = x_{i-1} - z_{i-1}$ при всех $i \geq 1$ (где под $x_0$ и $z_0$ понимаются числа $x$ и $z$), то $x \geq x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots$, причем, если хоть одно число $z_i (i = 0, 1, 2, \cdots$ больше нуля, то $x_{i+1} < x_i < x$ (и все $x_j$, где $j > i$, также меньше $x$); поэтому, если $x_n = x$, то $z_i = 0$ при $i = 0, 1, \cdots, n - 1$. Таким образом, должно быть $z = 0$ и $z_1 = 0$, откуда уже вытекает, что либо $y = x$ (и $z_1 = x - y = 0$), либо $y = z = 0$ (и $z_1 = y - z = 0$). Итак, мы видим, что для совпадения тройки чисел ($x$, $у$, $z$) с какой-либо тройкой ($x_n$, $у_n$, $z_n$) необходимо, чтобы исходная тройка имела (при $x = 1$) либо вид (1, 1, 0), либо вид (1, 0, 0). При этом второй случай можно сразу же откинуть, ибо от тройки (1, 0, 0) мы переходим к (отличной от исходной) тройке (1, 1, 0); поэтому, если $x = 1$ и тройка ($x$, $у$, $z$) совпадает с ($x_n$, $у_n$, $z_n$), то ($x$, $у$, $z$) - это тройка чисел (1, 1, 0) (и тройки ($x_n$, $у_n$, $z_n$) при всех $n$ имеют такое же строение).
Ответ: $(x, у, z) = (l, 1, 0)$.
