Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2840
2019-05-06 
Четыре (произвольные) числа $а, b, с, d$ выписаны рядом друг с другом. Под этими числами выписывается новая четверка чисел $a_1 = ab, b_1 = bc, c_1 = cd, d_1 = da$; под ними выписываются числа $a_2 = a_1b_1, b_2=b_1c_1, c_2=c_1d_1, d_2=d_1a_1$, и т. д. Доказать, что либо все полученные таким образом четверки чисел различны, либо все они, начиная с некоторой, совпадают между собой.
Решение:
Заметим, прежде всего, что если для каких-то натуральных $k$ и $l \neq k$ полученные описанным образом четверки $a_k, b_k, c_k, d_k$, и $a_l$, $b_l$, $c_l$, $d_l$ одинаковы, то либо все числа $a_k = a_l, b_k = b_l, c_k = c_l, d_k = d_l$ равны нулю, либо все они положительны. В самом деле, если хоть одно из чисел $а, b, с, d$, равно нулю, то не позже чем на четвертом «шагу» мы приходим к строчке из одних лишь нулей, которая затем неограниченно повторяется; при этом ранее никакие две из выписанных четверок чисел не совпадают. Действительно, если равно нулю ровно одно из наших чисел, скажем $a = 0$, то первые 4 четверки выглядят так:
$0, b, c, d; 0, bc, cd, 0; bc^2d, 0,0; 0, 0, 0,0$
- здесь никакие две из первых трех четверок не могут совпасть, поскольку нули в них стоят на разных местах. Ясно также, что если более чем одно из чисел $a$, $b$, $с$, $d$ равно нулю, то к четверке нулей мы также придем не позже чем на 4-м шагу, причем и здесь легко проверить, что не состоящие из одних нулей четверки обязательно будут все различны.
Сказанным исчерпывается разбор случая, когда $abcd = 0$; пусть теперь $abcd \neq 0$. Ясно, что здесь все числа всех четверок будут отличны от нуля. Далее, если среди чисел $а$, $b$, $с$, $d$ отрицательным является только одно - скажем, первое, - то обозначая положительное число символом «+», а отрицательное - символом «-», мы придем к следующему чередованию знаков в первых пяти последовательностях:
$- + + +; - + + -; - + - +; + + + +$;
таким образом, здесь 5-я четверка состоит из одних лишь положительных чисел, причем ранее никакие две четверки не могут совпасть, ибо чередование знаков в них различно. Из выписанной схемы видно также, что если среди чисел $а$, $b$, $с$, $d$ имеются два соседних отрицательных (как во 2-й из выписанных четверок: ведь упорядочение чисел в четверках здесь надо считать «циклическим», так что 1-е и 4-е числа являются «соседними»), или два не соседних отрицательных (как в 3-й четверке), или четыре отрицательных (как в 4-й четверке), то также не позже чем на 4-м шагу мы придем к одним лишь положительным числам (и ранее этого четверки будут различными). Аналогично рассматривается случай четверки из трех отрицательных и одного положительного числа, на первом же шагу переходящей во 2-ю из выписанных выше четверок:
$+ - - -; - + + -; - + - +; - - - - ; + + + +$.
Итак, далее мы можем считать все числа $а$, $b$, $с$, $d$ положительными; положим еще $abcd = p$. При этом, очевидно,
$a_1b_1c_1d_1 = (ab)(bc)(cd)(da) = (abcd)^2 = p^2$;
аналогично, $a_2b_2c_2d_2 = (a_1b_1c_1d_1)^2 = p^4; a_3b_3c_3d_3 = p^8$ и вообще $a_kb_kc_kd_k = (p)^{2^k}$ (где $k = 0, 1, 2, \cdots$; под $a_0$, $b_0$, $с_0$, $d_0$ мы понимаем исходные числа $а$, $b$, $с$, $d$). Поэтому, если четверки $a_k$, $b_k$, $с_k$, $d_k$ и $a_l$, $b_l$, $с_l$, $d_l$ (где $l > k$) совпадут, то
$p^{2^k} = a_kb_kc_kd_k = a_lb_lc_ld_l = p^{2^l}$ и, значит, $p^{2^l - 2^k} = 1$, т. e. $p = 1$.
Пусть теперь $abcd = 1$ (ясно, что нам надо разобрать лишь этот случай). В таком случае, поскольку $cd = \frac{1}{ab}$ то из двух чисел $ab$ и $cd$ одно $\geq 1$, а второе $\leq 1$; для определенности положим, что $ab = \alpha \geq 1$, a $cd = \frac{1}{ \alpha} \leq 1$. Аналогично, из пар чисел $bc$ и $da = \frac{1}{bc}$ одно не меньше, а второе не больше единицы; для определенности будем считать, что $bc = \beta \geq 1$, а $da = \frac{1}{ \beta} \leq 1$ и что $\alpha \geq \beta$ (все иные варианты, по существу, не отличаются от рассматриваемого). В таком случае мы последовательно получаем следующие четверки чисел:
$a, b, c, d; \alpha, \beta, \frac{1}{ \alpha}, \frac{1}{ \beta}; \alpha \beta, \frac{ \beta}{ \alpha}, \frac{1}{ \alpha \beta}, \frac{ \alpha}{ \beta}; \beta^2, \frac{1}{ \alpha^2}, \frac{1}{ \beta^2}, \alpha^2$.
При этом во 2-й четверке наибольшее число равно $\alpha$; в 3-й оно равно $\alpha \beta \geq \alpha$; в 4-й четверке оно равно $\alpha^2 \geq \alpha \beta$, и т. д. (заметим, что 4-я четверка отличается от 2-й только тем, что роль $\alpha$ и $\beta$ в ней играют числа $\alpha^2$ и $\beta^2$).
Итак, мы видим, что наибольшее из чисел четверки все время не убывает. Если $\alpha > 1$, $\beta > 1$, то наибольшее число даже все время растет; поэтому здесь никакие две четверки, каждая из которых отлична от 1-й, не могут совпадать между собой. Более того, если отлично от 1 хоть одно из двух чисел $\alpha$ и $\beta$, то и тогда никакие две четверки чисел, отличные от 1-й четверки, никогда не совпадут. В самом деле, если $\alpha > 1$, а $\beta = 1$, то 2-я и следующие за ней четверки имеют вид:
$\alpha, 1, \frac{1}{ \alpha}; \alpha, \frac{1}{ \alpha}, \frac{1}{ \alpha}, \alpha; 1; \frac{1}{ \alpha^2}, 1, \alpha^2$,
таким образом, здесь через два шага наибольшее число четверки увеличивается (что не позволяет четверке совпасть с какой-либо из предшествующих), а в двух первых четверках числа тоже различны. Поэтому, если совпадают между собой $k$-я и $1$-я четверки, где $l > k > 1$, то $\alpha = \beta = 1$, но в таком случае все четверки чисел, начиная со 2-й, совпадают между собой (это - четверки из одних единиц).
Мы до сих пор игнорировали в наших рассуждениях 1-ю четверку $а$, $b$, $с$, $d$; следовало бы еще выяснить, не может ли она совпасть с одной из последующих. Но это исключено из-за того, что, как мы видели, во всех четверках чисел, начиная со 2-й, имеются две пары чисел, произведение которых равно 1; поэтому, если четверка $а$, $b$, $с$, $d$ совпадает с одной из последующих и скажем $bc = \beta > 1$ и $ab = \alpha \geq \beta > 1$, то (поскольку $cd = \frac{1}{ \alpha} < 1$ и $da = \frac{1}{ \beta} < 1$), придется считать, что $ac = bd = 1$. Это предположение приводит к следующим значениям чисел 1-й четверки:
$\sqrt{ \frac{ \alpha}{ \beta}}, \sqrt {\alpha \beta}, \sqrt { \frac{ \beta}{ \alpha}}, \frac{1}{ \sqrt {\alpha \beta}}$
(почему?), что снова позволяет воспользоваться сравнением наибольших чисел $\alpha$ и $\sqrt {\alpha \beta}$ 1-й и 2-й четверок, совпадающих лишь при $\beta = \alpha$, т.е. тогда, когда наша 1-я четверка совпадает со 2-й четверкой, отвечающей случаю $\beta = 1$, и «эволюционирует» далее, как эта 2-я четверка. Аналогично рассматривается и случай $\beta = 1$.
Это рассуждение и завершает доказательство теоремы.
Четыре (произвольные) числа $а, b, с, d$ выписаны рядом друг с другом. Под этими числами выписывается новая четверка чисел $a_1 = ab, b_1 = bc, c_1 = cd, d_1 = da$; под ними выписываются числа $a_2 = a_1b_1, b_2=b_1c_1, c_2=c_1d_1, d_2=d_1a_1$, и т. д. Доказать, что либо все полученные таким образом четверки чисел различны, либо все они, начиная с некоторой, совпадают между собой.
Решение:
Заметим, прежде всего, что если для каких-то натуральных $k$ и $l \neq k$ полученные описанным образом четверки $a_k, b_k, c_k, d_k$, и $a_l$, $b_l$, $c_l$, $d_l$ одинаковы, то либо все числа $a_k = a_l, b_k = b_l, c_k = c_l, d_k = d_l$ равны нулю, либо все они положительны. В самом деле, если хоть одно из чисел $а, b, с, d$, равно нулю, то не позже чем на четвертом «шагу» мы приходим к строчке из одних лишь нулей, которая затем неограниченно повторяется; при этом ранее никакие две из выписанных четверок чисел не совпадают. Действительно, если равно нулю ровно одно из наших чисел, скажем $a = 0$, то первые 4 четверки выглядят так:
$0, b, c, d; 0, bc, cd, 0; bc^2d, 0,0; 0, 0, 0,0$
- здесь никакие две из первых трех четверок не могут совпасть, поскольку нули в них стоят на разных местах. Ясно также, что если более чем одно из чисел $a$, $b$, $с$, $d$ равно нулю, то к четверке нулей мы также придем не позже чем на 4-м шагу, причем и здесь легко проверить, что не состоящие из одних нулей четверки обязательно будут все различны.
Сказанным исчерпывается разбор случая, когда $abcd = 0$; пусть теперь $abcd \neq 0$. Ясно, что здесь все числа всех четверок будут отличны от нуля. Далее, если среди чисел $а$, $b$, $с$, $d$ отрицательным является только одно - скажем, первое, - то обозначая положительное число символом «+», а отрицательное - символом «-», мы придем к следующему чередованию знаков в первых пяти последовательностях:
$- + + +; - + + -; - + - +; + + + +$;
таким образом, здесь 5-я четверка состоит из одних лишь положительных чисел, причем ранее никакие две четверки не могут совпасть, ибо чередование знаков в них различно. Из выписанной схемы видно также, что если среди чисел $а$, $b$, $с$, $d$ имеются два соседних отрицательных (как во 2-й из выписанных четверок: ведь упорядочение чисел в четверках здесь надо считать «циклическим», так что 1-е и 4-е числа являются «соседними»), или два не соседних отрицательных (как в 3-й четверке), или четыре отрицательных (как в 4-й четверке), то также не позже чем на 4-м шагу мы придем к одним лишь положительным числам (и ранее этого четверки будут различными). Аналогично рассматривается случай четверки из трех отрицательных и одного положительного числа, на первом же шагу переходящей во 2-ю из выписанных выше четверок:
$+ - - -; - + + -; - + - +; - - - - ; + + + +$.
Итак, далее мы можем считать все числа $а$, $b$, $с$, $d$ положительными; положим еще $abcd = p$. При этом, очевидно,
$a_1b_1c_1d_1 = (ab)(bc)(cd)(da) = (abcd)^2 = p^2$;
аналогично, $a_2b_2c_2d_2 = (a_1b_1c_1d_1)^2 = p^4; a_3b_3c_3d_3 = p^8$ и вообще $a_kb_kc_kd_k = (p)^{2^k}$ (где $k = 0, 1, 2, \cdots$; под $a_0$, $b_0$, $с_0$, $d_0$ мы понимаем исходные числа $а$, $b$, $с$, $d$). Поэтому, если четверки $a_k$, $b_k$, $с_k$, $d_k$ и $a_l$, $b_l$, $с_l$, $d_l$ (где $l > k$) совпадут, то
$p^{2^k} = a_kb_kc_kd_k = a_lb_lc_ld_l = p^{2^l}$ и, значит, $p^{2^l - 2^k} = 1$, т. e. $p = 1$.
Пусть теперь $abcd = 1$ (ясно, что нам надо разобрать лишь этот случай). В таком случае, поскольку $cd = \frac{1}{ab}$ то из двух чисел $ab$ и $cd$ одно $\geq 1$, а второе $\leq 1$; для определенности положим, что $ab = \alpha \geq 1$, a $cd = \frac{1}{ \alpha} \leq 1$. Аналогично, из пар чисел $bc$ и $da = \frac{1}{bc}$ одно не меньше, а второе не больше единицы; для определенности будем считать, что $bc = \beta \geq 1$, а $da = \frac{1}{ \beta} \leq 1$ и что $\alpha \geq \beta$ (все иные варианты, по существу, не отличаются от рассматриваемого). В таком случае мы последовательно получаем следующие четверки чисел:
$a, b, c, d; \alpha, \beta, \frac{1}{ \alpha}, \frac{1}{ \beta}; \alpha \beta, \frac{ \beta}{ \alpha}, \frac{1}{ \alpha \beta}, \frac{ \alpha}{ \beta}; \beta^2, \frac{1}{ \alpha^2}, \frac{1}{ \beta^2}, \alpha^2$.
При этом во 2-й четверке наибольшее число равно $\alpha$; в 3-й оно равно $\alpha \beta \geq \alpha$; в 4-й четверке оно равно $\alpha^2 \geq \alpha \beta$, и т. д. (заметим, что 4-я четверка отличается от 2-й только тем, что роль $\alpha$ и $\beta$ в ней играют числа $\alpha^2$ и $\beta^2$).
Итак, мы видим, что наибольшее из чисел четверки все время не убывает. Если $\alpha > 1$, $\beta > 1$, то наибольшее число даже все время растет; поэтому здесь никакие две четверки, каждая из которых отлична от 1-й, не могут совпадать между собой. Более того, если отлично от 1 хоть одно из двух чисел $\alpha$ и $\beta$, то и тогда никакие две четверки чисел, отличные от 1-й четверки, никогда не совпадут. В самом деле, если $\alpha > 1$, а $\beta = 1$, то 2-я и следующие за ней четверки имеют вид:
$\alpha, 1, \frac{1}{ \alpha}; \alpha, \frac{1}{ \alpha}, \frac{1}{ \alpha}, \alpha; 1; \frac{1}{ \alpha^2}, 1, \alpha^2$,
таким образом, здесь через два шага наибольшее число четверки увеличивается (что не позволяет четверке совпасть с какой-либо из предшествующих), а в двух первых четверках числа тоже различны. Поэтому, если совпадают между собой $k$-я и $1$-я четверки, где $l > k > 1$, то $\alpha = \beta = 1$, но в таком случае все четверки чисел, начиная со 2-й, совпадают между собой (это - четверки из одних единиц).
Мы до сих пор игнорировали в наших рассуждениях 1-ю четверку $а$, $b$, $с$, $d$; следовало бы еще выяснить, не может ли она совпасть с одной из последующих. Но это исключено из-за того, что, как мы видели, во всех четверках чисел, начиная со 2-й, имеются две пары чисел, произведение которых равно 1; поэтому, если четверка $а$, $b$, $с$, $d$ совпадает с одной из последующих и скажем $bc = \beta > 1$ и $ab = \alpha \geq \beta > 1$, то (поскольку $cd = \frac{1}{ \alpha} < 1$ и $da = \frac{1}{ \beta} < 1$), придется считать, что $ac = bd = 1$. Это предположение приводит к следующим значениям чисел 1-й четверки:
$\sqrt{ \frac{ \alpha}{ \beta}}, \sqrt {\alpha \beta}, \sqrt { \frac{ \beta}{ \alpha}}, \frac{1}{ \sqrt {\alpha \beta}}$
(почему?), что снова позволяет воспользоваться сравнением наибольших чисел $\alpha$ и $\sqrt {\alpha \beta}$ 1-й и 2-й четверок, совпадающих лишь при $\beta = \alpha$, т.е. тогда, когда наша 1-я четверка совпадает со 2-й четверкой, отвечающей случаю $\beta = 1$, и «эволюционирует» далее, как эта 2-я четверка. Аналогично рассматривается и случай $\beta = 1$.
Это рассуждение и завершает доказательство теоремы.
