Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2837
2019-05-06 
Имеется $4n$ положительных чисел, таких, что из любых четырех попарно различных можно составить геометрическую пропорцию. Доказать, что среди этих чисел найдется $n$ одинаковых.
Решение:
Докажем, что эти числа принимают не более четырех различных значений. Допустим, что это неверно и среди наших $4n$ чисел существует пять чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$, попарно различных между собой. Будем считать, что $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$.
Рассмотрим числа $a_1, a_2, a_3$ и $a_4$. Согласно нашему условию из них можно составить геометрическую пропорцию; следовательно, произведение двух из этих чисел (крайних членов пропорции) равно произведению двух других. Но это возможно только, если
$a_1a_4 = a_2a_3$
(равенство $a_1a_3 = a_2a_4$ невозможно, так как $a_1 < a_2, a_3 < a_4$; еще очевиднее, что не может иметь места равенство $a_1a_2 = a_3a_4$).
Рассмотрим теперь числа $a_1, a_2, a_3, a_5$. Таким же образом, как и выше, можно доказать, что $a_1a_5 = a_2a_4$. Следовательно, $a_1a_4 = a_1a_5, a_4 = a_5$, что противоречит нашему предположению.
Итак, мы доказали, что каждое из $4n$ чисел принимает одно из не более чем четырех различных значений. Поэтому какое-нибудь, из этих значений принимается не менее чем $n$ числами.
Имеется $4n$ положительных чисел, таких, что из любых четырех попарно различных можно составить геометрическую пропорцию. Доказать, что среди этих чисел найдется $n$ одинаковых.
Решение:
Докажем, что эти числа принимают не более четырех различных значений. Допустим, что это неверно и среди наших $4n$ чисел существует пять чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$, попарно различных между собой. Будем считать, что $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$.
Рассмотрим числа $a_1, a_2, a_3$ и $a_4$. Согласно нашему условию из них можно составить геометрическую пропорцию; следовательно, произведение двух из этих чисел (крайних членов пропорции) равно произведению двух других. Но это возможно только, если
$a_1a_4 = a_2a_3$
(равенство $a_1a_3 = a_2a_4$ невозможно, так как $a_1 < a_2, a_3 < a_4$; еще очевиднее, что не может иметь места равенство $a_1a_2 = a_3a_4$).
Рассмотрим теперь числа $a_1, a_2, a_3, a_5$. Таким же образом, как и выше, можно доказать, что $a_1a_5 = a_2a_4$. Следовательно, $a_1a_4 = a_1a_5, a_4 = a_5$, что противоречит нашему предположению.
Итак, мы доказали, что каждое из $4n$ чисел принимает одно из не более чем четырех различных значений. Поэтому какое-нибудь, из этих значений принимается не менее чем $n$ числами.
