Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2833
2019-05-06 
Из всех цифр от 1 до 9 составить три трехзначных числа, произведение которых было бы
а) наименьшим; б) наибольшим.
Решение:
а) Первые цифры трех искомых чисел должны быть наименьшими; следовательно, эти числа в десятичной записи имеют вид:
$\overline {1Aa}, \overline {2Bb}, \overline {3Cc}$,
где символ $\overline {xyz}$ обозначает число, записываемое цифрами $x$, $y$, $z$.
Докажем, что: 1) $A
1) Если бы, например, было $A > B$, то мы имели бы $\overline {Aa} > \overline {Bb}$ и $\overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} - \overline {2Aa} \cdot \overline {1Bb} = (100 + \overline {Aa}) \cdot (200 + \overline {Bb}) - (200 + \overline {Aa}) \cdot (100 + \overline {Bb}) = 100 (\overline {Aa} - \overline {Bb}) > 0$ и следовательно, $\overline {1Bb} \cdot \overline {2Aa} \cdot \overline {3Cc} < \overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3Cc}$.
2) Если бы, например, было $a > b$, то мы имели бы
$\overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} - \overline {1Ab} \cdot \overline {2Ba} = (10 \cdot \overline {1A} + a)(10 \cdot \overline {2B} + b) - (10 \cdot \overline {1A} + b)(10 \cdot \overline {2B} + a) = (10 \cdot \overline {2B} - 10 \cdot \overline {1A}(a-b) > 0$
и, следовательно, $\overline {1Ab} \cdot \overline {2Ba} \cdot \overline {3Cc} < \overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3Cc}$.
3) Если бы было $C > a$, $C = a + x$, где $x > 0$ (в силу 1) и 2) $С$ - самая большая из цифр $A$, $B$, $C$, а $a$ - самая маленькая из цифр $a$, $b$, $c$), то мы имели бы
$\overline {1Aa} \cdot \overline {3Cc} - \overline {1Aa} \cdot \overline {3ac} = \overline {1Aa} \cdot (\overline {3ac} + 10x) - (\overline {1Aa} + x)(\overline {3ac}) = x(10 \cdot \overline {1Aa} - \overline {3ac}) > 0$
и, следовательно, $\overline {1AC} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3ac} < \overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3Cc}$.
Из 1), 2) и 3) следует
$A < B < C < a < b < c$,
и искомое произведение имеет вид
$147 \cdot 258 \cdot 369$.
б) Искомое произведение должно иметь вид
$\overline {9Aa} \cdot \overline {8Bb} \cdot \overline {7Cc}$.
Аналогично решению задачи а) можно доказать, что 1) $А < В < С$, 2) $а < b < с$, 3) каждая из цифр $а, b, с$ меньше каждой из цифр $A$, $В$, $С$.
Из 1), 2) и 3) следует, что
$a < b < c < A < B < C$
и, следовательно, искомое произведение имеет вид
$941 \cdot 852 \cdot 763$.
Из всех цифр от 1 до 9 составить три трехзначных числа, произведение которых было бы
а) наименьшим; б) наибольшим.
Решение:
а) Первые цифры трех искомых чисел должны быть наименьшими; следовательно, эти числа в десятичной записи имеют вид:
$\overline {1Aa}, \overline {2Bb}, \overline {3Cc}$,
где символ $\overline {xyz}$ обозначает число, записываемое цифрами $x$, $y$, $z$.
Докажем, что: 1) $A
1) Если бы, например, было $A > B$, то мы имели бы $\overline {Aa} > \overline {Bb}$ и $\overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} - \overline {2Aa} \cdot \overline {1Bb} = (100 + \overline {Aa}) \cdot (200 + \overline {Bb}) - (200 + \overline {Aa}) \cdot (100 + \overline {Bb}) = 100 (\overline {Aa} - \overline {Bb}) > 0$ и следовательно, $\overline {1Bb} \cdot \overline {2Aa} \cdot \overline {3Cc} < \overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3Cc}$.
2) Если бы, например, было $a > b$, то мы имели бы
$\overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} - \overline {1Ab} \cdot \overline {2Ba} = (10 \cdot \overline {1A} + a)(10 \cdot \overline {2B} + b) - (10 \cdot \overline {1A} + b)(10 \cdot \overline {2B} + a) = (10 \cdot \overline {2B} - 10 \cdot \overline {1A}(a-b) > 0$
и, следовательно, $\overline {1Ab} \cdot \overline {2Ba} \cdot \overline {3Cc} < \overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3Cc}$.
3) Если бы было $C > a$, $C = a + x$, где $x > 0$ (в силу 1) и 2) $С$ - самая большая из цифр $A$, $B$, $C$, а $a$ - самая маленькая из цифр $a$, $b$, $c$), то мы имели бы
$\overline {1Aa} \cdot \overline {3Cc} - \overline {1Aa} \cdot \overline {3ac} = \overline {1Aa} \cdot (\overline {3ac} + 10x) - (\overline {1Aa} + x)(\overline {3ac}) = x(10 \cdot \overline {1Aa} - \overline {3ac}) > 0$
и, следовательно, $\overline {1AC} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3ac} < \overline {1Aa} \cdot \overline {2Bb} \cdot \overline {3Cc}$.
Из 1), 2) и 3) следует
$A < B < C < a < b < c$,
и искомое произведение имеет вид
$147 \cdot 258 \cdot 369$.
б) Искомое произведение должно иметь вид
$\overline {9Aa} \cdot \overline {8Bb} \cdot \overline {7Cc}$.
Аналогично решению задачи а) можно доказать, что 1) $А < В < С$, 2) $а < b < с$, 3) каждая из цифр $а, b, с$ меньше каждой из цифр $A$, $В$, $С$.
Из 1), 2) и 3) следует, что
$a < b < c < A < B < C$
и, следовательно, искомое произведение имеет вид
$941 \cdot 852 \cdot 763$.
