Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2830
2019-05-06 
Шоссе, по которому круглосуточно ходит автобус, пересекает железную дорогу. По дороге каждый час проходят два поезда, которые достигают шоссе ровно в $n$ час. ив $n$ час. 38 мин., где $n$ принимает все значения от 0 до 23; каждый раз, когда проходит поезд, опускается на 5 мин. шлагбаум, преграждающий путь по шоссе. Требуется так составить расписание автобусов, чтобы они ходили с одним и тем же интервалом $Т$ мин. между машинами и чтобы ни одна машина не задерживалась на переезде. При каких интервалах между автобусами, меньших получаса, так спланировать движение возможно?
Решение:
Будем считать, что каждый час шлагбаум закрыт от 0 мин. до 5 мин. и от 38 мин. до 43 мин. Если указанные 5-минутные интервалы начинаются, скажем, за 1 мин. до подхода поезда к шлагбауму, то мы просто «переведем часы назад на 1 мин.» (а после решения задачи, чтобы исправить составленное с использованием неверных часов расписание движения автобусов, снова переведем на 1 мин. стрелки часов). Отметим на циферблате часов все положения минутной стрелки, отвечающие моментам, когда автобус проходит шлагбаум - для этого пометим черточкой время $t_0$ мин. прохождения первого (с начала суток) автобуса, а затем, двигаясь в направлении вращения часовой стрелки, станем отмечать последующие моменты $t_0 + T$, $t_0 + 2T$, и т. д., откладывая каждый раз по циферблату дугу, отвечающему интервалу в $T$ мин. Нам надо так выбрать $t_0$ и $T_0$, чтобы ни одна из полученных отметок не попала в «запрещенные» (заштрихованные на рис.) интервалы времени от 0 до 5 мин. и от 38 до 43 мин.
Заметим, прежде всего, что среди полученных таким образом отметок на циферблате могут иметься на более 12 различных). В самом деле, пусть $R$ и $R_1$ - две ближайшие друг к другу отметки на циферблате, которым отвечает угол $ROR_1 = \alpha^0$ (где $O$ - центр циферблата), соответствующий временному интервалу в $\tau$ мин.; отметки $R$ и $R_1$ указывают моменты времени $t_0 + iT$, где $t_0 + jT$, где $i$ и $j$ - какие-то целые числа. В таком случае два автобуса - $i$-й и $j$-й (где мы считаем $j > i$) - следуют один за другим через целое число $k$ часов $\pm \tau$ минут; для определенности условимся считать, что временной интервал между автобусами равен $k$ час + $\tau$ мин., так что $\breve{RR_1}$ имеет на циферблате направление вращения часовой стрелки (; в рассуждениях почти ничего не изменилось бы, если бы $\breve{RR_1}$ имела обратное направление). В таком случае $[j + (j - i)]$-й (т. е. $(2j - i)$ автобус будет следовать за $j$-м через $k$ час $\tau$ мин., и моменту его проезда через железнодорожный путь отвечает на циферблате отметка $R_2$ такая, что $\breve{R_1R_2} = \breve{RR_1} = \alpha^{\circ}$; $[(2j - i) + 1 + (j - i)]$-му (т. е. $3j - 2i$-му) автобусу отвечает такая отметка $R_3$, что $\breve{R_2R_3} = \alpha^{\circ}$, и т. д. С другой стороны, $[i - (j - i)]$-й (т. е. $(2i - j)$-й) автобус следует за $k$ час и $\tau$ мин. до $i$-го, т. е. ему отвечает отметка $R_{-1}$ такая, что $R_{-1}$ и $R_1$ расположены по разные стороны от $R$ и $\breve {R_{-1}R} = \breve {RR_1} = \alpha^{\circ}$, и т. д. Таким путем мы получим на циферблате «сетку» отметок, расположенных друг от друга на «дуговом» расстоянии в $\alpha^{\circ}$, или на «временном» расстоянии в $\tau$ мин.; ясно, что если $\tau < 5$ (или $\alpha < 30^{\circ}$, поскольку 5 мин. на циферблате отвечает центральный угол в $30^{\circ}$), то хоть одна из этих отметок попадет в «запрещенный» интервал времени и соответствующему автобусу путь через переезд будет закрыт. Но если на циферблате имеется система отметок, причем наименьшее из (дуговых) расстояний между отметками $\geq 30^{\circ}$, то общее число отметок $\leq \frac {360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12$.
Итак, расписание движения автобусов указывается на циферблате $k \leq 12$ отметками $R, R_1, R_2, \cdots$ из сказанного выше вытекает, что $\breve RR_1 = \breve R_1R_2 = \breve R_2R_3 = \cdots$, т. е. что $RR_1R_2 \cdots R_{k-1} (= M_k)$ - это вписанный в окружность циферблата правильный $k$-угольник. Нам надо найти все $k$, отвечающие правильным многоугольникам $M_k$, которые можно так повернуть вокруг центра $O$ циферблата, чтобы ни одна вершина $M_k$ не попала на заштрихованные на дуги $AB$ и $CD$. Ясно, что при $k = 1$ (один автобус в час) или $k = 2$ (два автобуса; здесь надо указать на циферблате две диаметрально противоположные отметки $R$ и $R_1$, не попадающие на дуги $AB$ и $CD$) это возможно; условие $T$ < 30 мин. требует указать решения задачи, отвечающие значениям $k$ > 2. С другой стороны, очевидно, что значение $k = 12$ (т. е. $\alpha^{\circ} = 30^{\circ}$ и $\tau$ мин.) нам не подходит: свободной от отметок дуга $AB$ может быть лишь в том случае, если ее концы $A$ и $B$ совпадают с какими-то отметками $R$ и $R_1$; но в таком случае 9-я отметка отвечает моменту времени $0 + 8 \cdot 5$ мин. = 40 мин. - и она попадает на дугу $CD$. Аналогично, не подходят нам также значения $k = 10,9$ и 7 (т.е. значения $\tau = 60/10 = 6$ мин., $60/9 = 6 2/3$ мин. и $60.7 = 8 4.7$ мин.); так, если $\tau = 6$ мин., то ближайшая за $A$ отметка $R$, если только она не попадает на дугу $AB$, должна разместиться где-то внутри (временного) интервала [5 мин., 6 мин.]; но тогда 7-му автобусу ответит отметка, приходящаяся на временной интервал [$5 + 6 \cdot 6 = 42$ мин., $6 + 6 \cdot 6 = 42$ мин.], целиком принадлежащий «запрещенной» дуге $CD$. (Проверьте сами, что если отметка $R$ попадает на интервал [5 мин., 6 2/3 мин.], соответственно [5 мин., 8 4.7 мин.], то 6-й, соответственно 5-й автобус неизбежно попадут в интервал $CD$. Напротив, значения $k = 11, 8, 6, 5, 4$ и $3$, отвечающие значениям $\tau = 60/11 = 5 5/11$ мин., $60/5 = 12$ мин., $60/4 = 15$ мин. и $60/3 = 20$ мин., являются допустимыми: так, например, если $k = 11$, то автобусы могут проезжать шлагбаум, скажем, в моменты времени 5 мин., 10 5/11 мин., 15 10/11 мин., 21 4/11 мин., 26 9/11 мин., 32 3/11 мин., 37 8/11 мин., 43 2/11 мин., 48 7/11 мин., 54 1/11 мин., и 59 6/11 мин., а если $k = 5$, то возможно следующее расписание движения, автобусов: автобусы проходят шлагбаум в 8 мин., $8 + 12 = 20$ мин., 32 мин., 44 мин. и 56 мин.
Таким образом, при $T < 30$ мин. требуемым образом движение автобуса можно организовать при $T = 20$ мин., 15 мин., 12 мин., 7 1/2 мин. и 5 5/11 мин. - и только при этих значениях $T$.
Ответ: Возможны значения $Т = 20, 15, 12, 7 1/2$ и $5 5/11$ мин.
Шоссе, по которому круглосуточно ходит автобус, пересекает железную дорогу. По дороге каждый час проходят два поезда, которые достигают шоссе ровно в $n$ час. ив $n$ час. 38 мин., где $n$ принимает все значения от 0 до 23; каждый раз, когда проходит поезд, опускается на 5 мин. шлагбаум, преграждающий путь по шоссе. Требуется так составить расписание автобусов, чтобы они ходили с одним и тем же интервалом $Т$ мин. между машинами и чтобы ни одна машина не задерживалась на переезде. При каких интервалах между автобусами, меньших получаса, так спланировать движение возможно?
Решение:
Будем считать, что каждый час шлагбаум закрыт от 0 мин. до 5 мин. и от 38 мин. до 43 мин. Если указанные 5-минутные интервалы начинаются, скажем, за 1 мин. до подхода поезда к шлагбауму, то мы просто «переведем часы назад на 1 мин.» (а после решения задачи, чтобы исправить составленное с использованием неверных часов расписание движения автобусов, снова переведем на 1 мин. стрелки часов). Отметим на циферблате часов все положения минутной стрелки, отвечающие моментам, когда автобус проходит шлагбаум - для этого пометим черточкой время $t_0$ мин. прохождения первого (с начала суток) автобуса, а затем, двигаясь в направлении вращения часовой стрелки, станем отмечать последующие моменты $t_0 + T$, $t_0 + 2T$, и т. д., откладывая каждый раз по циферблату дугу, отвечающему интервалу в $T$ мин. Нам надо так выбрать $t_0$ и $T_0$, чтобы ни одна из полученных отметок не попала в «запрещенные» (заштрихованные на рис.) интервалы времени от 0 до 5 мин. и от 38 до 43 мин.
Заметим, прежде всего, что среди полученных таким образом отметок на циферблате могут иметься на более 12 различных). В самом деле, пусть $R$ и $R_1$ - две ближайшие друг к другу отметки на циферблате, которым отвечает угол $ROR_1 = \alpha^0$ (где $O$ - центр циферблата), соответствующий временному интервалу в $\tau$ мин.; отметки $R$ и $R_1$ указывают моменты времени $t_0 + iT$, где $t_0 + jT$, где $i$ и $j$ - какие-то целые числа. В таком случае два автобуса - $i$-й и $j$-й (где мы считаем $j > i$) - следуют один за другим через целое число $k$ часов $\pm \tau$ минут; для определенности условимся считать, что временной интервал между автобусами равен $k$ час + $\tau$ мин., так что $\breve{RR_1}$ имеет на циферблате направление вращения часовой стрелки (
Итак, расписание движения автобусов указывается на циферблате $k \leq 12$ отметками $R, R_1, R_2, \cdots$ из сказанного выше вытекает, что $\breve RR_1 = \breve R_1R_2 = \breve R_2R_3 = \cdots$, т. е. что $RR_1R_2 \cdots R_{k-1} (= M_k)$ - это вписанный в окружность циферблата правильный $k$-угольник. Нам надо найти все $k$, отвечающие правильным многоугольникам $M_k$, которые можно так повернуть вокруг центра $O$ циферблата, чтобы ни одна вершина $M_k$ не попала на заштрихованные на
Таким образом, при $T < 30$ мин. требуемым образом движение автобуса можно организовать при $T = 20$ мин., 15 мин., 12 мин., 7 1/2 мин. и 5 5/11 мин. - и только при этих значениях $T$.
Ответ: Возможны значения $Т = 20, 15, 12, 7 1/2$ и $5 5/11$ мин.
