Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2828
2019-05-06 
Расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ равно 999 км. Вдоль соединяющей $A$ и $B$ дороги стоят километровые столбы, на которых указаны расстояния до $A$ и до $B$ - надписи на них выглядят так:
$0 | 999, 1 | 998, 2 | 997, \cdots, 999 | 0$.
Сколько из этих столбов таких, на которых имеются лишь две различные цифры?
Решение:
Ясно, что если на столбе указаны числа $\overline{xyz} | \overline{x_1y_1z_1}$ (где $x, y, \cdots$ - цифры), то $\overline{x_1y_1z_1} = 999 - \overline{xyz}$ и, значит, $z_1 = 9 - z, y_1 = 9 - y, x_1 = 9 - x$. (Если $х = 9$ или $х = у = 9$, то цифры $x_1 = 0$, или $x_1 = y_1 = 0$ на столбе не проставляются.) Отсюда сразу следует, что если $x = y = z$ (и, значит, $x_1 = y_1 = z_1 = 9 - x$), то наши условия будут выполнены; это дает 10 удовлетворяющих условию задачи столбов (отвечающих расстояниям $0 = 000, 111, 222, \cdots, 999$ км от пункта $А$). Если же число $\overline {xyz}$ записывается двумя разными цифрами, то эти цифры должны быть таковы, что каждая из них дополняет вторую до числа 9 - в этом случае и число $\overline {x_1y_1z_1} = \overline {9-x, 9-y, 9-z}$ будет записываться теми же цифрами. Подобных пар цифр существует, очевидно, пять: $(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6)$ и $(4, 5)$; а трехзначных чисел, вписывающихся двумя данными цифрами $a$ и $b$, имеется всего шесть: три из них записываются двумя цифрами $а$ и одной цифрой $b$ (которая может занимать любое из 3-х имеющихся мест) и, аналогично, три числа записываются одной цифрой $а$ и двумя цифрами $b$. Таким образом, мы получаем еще $5 \cdot 6 = 30$ удовлетворяющих условию задачи расстояний искомого столба от пункта $A$; поэтому общее число удовлетворяющих сформулированным требованиям столбов: $10 + 30 = 40$.
Ответ: 40.
Расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ равно 999 км. Вдоль соединяющей $A$ и $B$ дороги стоят километровые столбы, на которых указаны расстояния до $A$ и до $B$ - надписи на них выглядят так:
$0 | 999, 1 | 998, 2 | 997, \cdots, 999 | 0$.
Сколько из этих столбов таких, на которых имеются лишь две различные цифры?
Решение:
Ясно, что если на столбе указаны числа $\overline{xyz} | \overline{x_1y_1z_1}$ (где $x, y, \cdots$ - цифры), то $\overline{x_1y_1z_1} = 999 - \overline{xyz}$ и, значит, $z_1 = 9 - z, y_1 = 9 - y, x_1 = 9 - x$. (Если $х = 9$ или $х = у = 9$, то цифры $x_1 = 0$, или $x_1 = y_1 = 0$ на столбе не проставляются.) Отсюда сразу следует, что если $x = y = z$ (и, значит, $x_1 = y_1 = z_1 = 9 - x$), то наши условия будут выполнены; это дает 10 удовлетворяющих условию задачи столбов (отвечающих расстояниям $0 = 000, 111, 222, \cdots, 999$ км от пункта $А$). Если же число $\overline {xyz}$ записывается двумя разными цифрами, то эти цифры должны быть таковы, что каждая из них дополняет вторую до числа 9 - в этом случае и число $\overline {x_1y_1z_1} = \overline {9-x, 9-y, 9-z}$ будет записываться теми же цифрами. Подобных пар цифр существует, очевидно, пять: $(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6)$ и $(4, 5)$; а трехзначных чисел, вписывающихся двумя данными цифрами $a$ и $b$, имеется всего шесть: три из них записываются двумя цифрами $а$ и одной цифрой $b$ (которая может занимать любое из 3-х имеющихся мест) и, аналогично, три числа записываются одной цифрой $а$ и двумя цифрами $b$. Таким образом, мы получаем еще $5 \cdot 6 = 30$ удовлетворяющих условию задачи расстояний искомого столба от пункта $A$; поэтому общее число удовлетворяющих сформулированным требованиям столбов: $10 + 30 = 40$.
Ответ: 40.
