Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2827
2019-05-06 
Дана треугольная таблица чисел:
в которой каждое число (кроме чисел верхней строки) равна сумме двух стоящих над ним чисел предшествующей строки. Доказать, что последнее число, стоящее в самой нижней строке этой таблицы, делится на 1958.
Решение:
Докажем, что сумма чисел каждой строки нашей таблицы делится на $1958 \div 2 = 979$, причем сумма чисел каждой строки, начиная со 2-й, делится даже на 1958; отсюда уже следует утверждение задачи, поскольку в последней (нижней) строке имеется единственное число и «сумма чисел» этой строки совпадает с этим числом. Ясно, что сумма $S_1$ чисел верхней строки (сумма первых 1958 чисел натурального ряда, образующих арифметическую прогрессию) равна $1/2(1958 \cdot 1959)$, т. е. $S_1$ делится на $1958 \div 2$. Далее сумма $S_2$ чисел 2-й строки, очевидно, равна: $S_2 = (0+1) + (1+2) + (2+3) + \cdots + (1956 + 1957) + (1957 + 1958) = 2S_1 - (0 + 1958)$, поскольку почти все слагаемые суммы $S_1$ входят в выписанное выражение $S_2$ дважды - исключение составляют лишь «крайние» члены 0 и 1958, которые входят в $S_2$ по одному разу. Но поскольку и $2S_1$ и $0 + 1958 = 1958$ делятся на 1958, то и сумма $S_2$ на 1958 делится.
Перейдем теперь к 3-й строке нашей таблицы. Ясно, что сумма $S_3$ всех чисел этой строки равна
$S_3 = (1+3) + (3+5) + \cdots + (3913 + 3915) = 2S_2 - (1 + 3915)$;
в самом деле, в выражении для $S_3$ фигурируют дважды все числа из 2-й строки, кроме одних лишь «крайних» чисел 1 и 3915, которые входят в сумму $S_3$ по одному разу. Но числа второго ряда 1 и 3915 имеют следующее происхождение: $1 = 0+1$ и $3915 = 1957 + 1958$; поэтому
$1 + 3915 = (0+1) + (1957 + 1958) = (0+1958) + (1+1957) = 2 \cdot 1958$
делится на 1958, откуда и вытекает, что также и сумма $S_3$ делится на 1958.
Это рассуждение может быть продолжено. Так, сумма $S_4$ всех чисел 4-й строки равна
$S_4 = 2S_3 - (4 + 7828)$, где $4 (= 1+3)$ и $7828 (=3913+3915)$ - «крайние» числа 3-й строки. Но из правила образования нашей таблицы сразу следует, что
$4 + 7828 = (1+3) + (3913+3915) = (0+1) + (1+2) + (1956 + 1957) + (1957 + 1958) = (0+1958) + (1+1957) + (1+1957) + (2 + 1956) = 4 \cdot 1958$
делится на 1958, откуда и вытекает делимость на 1958 суммы $S_4$. Точно так же устанавливается делимость на 1958 суммы чисел всех последующих строк (формальное доказательство можно провести методом математической индукции), что и завершает доказательство требуемого утверждения.
Дана треугольная таблица чисел:
в которой каждое число (кроме чисел верхней строки) равна сумме двух стоящих над ним чисел предшествующей строки. Доказать, что последнее число, стоящее в самой нижней строке этой таблицы, делится на 1958.
Решение:
Докажем, что сумма чисел каждой строки нашей таблицы делится на $1958 \div 2 = 979$, причем сумма чисел каждой строки, начиная со 2-й, делится даже на 1958; отсюда уже следует утверждение задачи, поскольку в последней (нижней) строке имеется единственное число и «сумма чисел» этой строки совпадает с этим числом. Ясно, что сумма $S_1$ чисел верхней строки (сумма первых 1958 чисел натурального ряда, образующих арифметическую прогрессию) равна $1/2(1958 \cdot 1959)$, т. е. $S_1$ делится на $1958 \div 2$. Далее сумма $S_2$ чисел 2-й строки, очевидно, равна: $S_2 = (0+1) + (1+2) + (2+3) + \cdots + (1956 + 1957) + (1957 + 1958) = 2S_1 - (0 + 1958)$, поскольку почти все слагаемые суммы $S_1$ входят в выписанное выражение $S_2$ дважды - исключение составляют лишь «крайние» члены 0 и 1958, которые входят в $S_2$ по одному разу. Но поскольку и $2S_1$ и $0 + 1958 = 1958$ делятся на 1958, то и сумма $S_2$ на 1958 делится.
Перейдем теперь к 3-й строке нашей таблицы. Ясно, что сумма $S_3$ всех чисел этой строки равна
$S_3 = (1+3) + (3+5) + \cdots + (3913 + 3915) = 2S_2 - (1 + 3915)$;
в самом деле, в выражении для $S_3$ фигурируют дважды все числа из 2-й строки, кроме одних лишь «крайних» чисел 1 и 3915, которые входят в сумму $S_3$ по одному разу. Но числа второго ряда 1 и 3915 имеют следующее происхождение: $1 = 0+1$ и $3915 = 1957 + 1958$; поэтому
$1 + 3915 = (0+1) + (1957 + 1958) = (0+1958) + (1+1957) = 2 \cdot 1958$
делится на 1958, откуда и вытекает, что также и сумма $S_3$ делится на 1958.
Это рассуждение может быть продолжено. Так, сумма $S_4$ всех чисел 4-й строки равна
$S_4 = 2S_3 - (4 + 7828)$, где $4 (= 1+3)$ и $7828 (=3913+3915)$ - «крайние» числа 3-й строки. Но из правила образования нашей таблицы сразу следует, что
$4 + 7828 = (1+3) + (3913+3915) = (0+1) + (1+2) + (1956 + 1957) + (1957 + 1958) = (0+1958) + (1+1957) + (1+1957) + (2 + 1956) = 4 \cdot 1958$
делится на 1958, откуда и вытекает делимость на 1958 суммы $S_4$. Точно так же устанавливается делимость на 1958 суммы чисел всех последующих строк (формальное доказательство можно провести методом математической индукции), что и завершает доказательство требуемого утверждения.
