Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2825
2019-05-06 
Пусть $n \geq 2$ и $A_1, A_2, \cdots $ - все не более, чем $n$ -значные неотрицательные целые числа, сумма цифр которых четна, а $b_1, b_2, \cdots$ - те не более чем п-значные числа, сумма цифр которых нечетна. Доказать, что
$A_1^m + A_2^m + \cdots = b_1^m + b_2^m + \cdots$
при всех (натуральных) $m < n$. Будет ли верно утверждение задачи также и при $m \geq n$?
Решение:
Заметим, прежде всего, что утверждение задачи можно считать верным и при $m = 0$ (в таком случае оговорка $n \geq 2$ становится необязательной - мы можем допускать и $n = 1$), если только положить $0^0 = 1$ (поскольку $a^0 = 1$ для всех $a$). Пусть, например, $n = 1$; обозначая все четные цифры (включая и цифру 0) через $\alpha_1, \alpha_2, \cdots$, а нечетные цифры - через $\beta_1, \beta_2, \cdots$ получим:
$\alpha_1^0 + \alpha_2^0 + \cdots = 0^0 + 2^0 + 4^0 + 6^0 + 8^0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$
и
$\beta_1^0 + \beta_2^0 + \cdots = 1^0 + 3^0 + 5^0 + 7^0 + 9^0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.
Перейдем теперь к следующему значению $n$: пусть $n = 2$; через $\alpha_1, \alpha_2, \cdots$ и $\beta_1, \beta_2, \cdots$ мы по-прежнему обозначим все четные и все нечетные цифры, а через $A_1, A_2, \cdots$ и $B_1, B_2, \cdots$ - все не более чем двузначные числа с четной, соответственно с нечетной суммами цифр. Так как, очевидно, каждое число $A_i$ имеет либо вид $\overline { \alpha_k \alpha_l (= 10 \alpha_k + \alpha_1)}$, либо вид $\overline { \beta_k \beta_l} (=10 \beta_k + \beta_l)$, а числа $B_j$, напротив, имеют вид $\overline { \alpha_k \beta_l} = 10 \alpha_k + \beta_l$ и $\overline { \beta_k \alpha_l} = 10 \beta_k + \alpha_l$, то, обозначая через $\sum {A_l}$ и через $\sum B_j$ сумму всевозможных не более чем двузначных неотрицательных чисел с четной, соответственно с нечетной суммами цифр, а через $\sum \alpha_k$ и $\sum \beta_l$ - сумму всех четных и всех нечетных цифр, получим:
$\sum A_i = \sum (10 \alpha_k + \alpha_l) + \sum (10 \beta_k + \beta_l) = 10 \left ( \sum 10 \alpha_k + \sum \beta_k \right ) + \left ( \sum \alpha_i + \sum \beta \right )$
и, аналогично,
$\sum B_j = \sum \left ( 10 \alpha_k + \beta_l \right ) + \sum \left (10 \beta_k + \alpha_l \right ) = 10 \left ( \sum \alpha_k + \sum \beta_k \right ) + \left (\sum \beta_l + \sum \alpha_i \right )$;
эти два равенства и доказывают, что $\sum A_i = \sum B_j$.
В точности то же рассуждение лежит в основе общего доказательства требуемого утверждения методом математической индукции. Пусть мы уже установили справедливость его для некоторого $n$ (и всех $m < n$); рассмотрим следующее натуральное число $n+1$ (и какую-то степень $m < n+1$). Условимся обозначать все не более чем $n$-значные неотрицательные числа с четной, соответственно с нечетной суммами цифр, через $a_1, a_2, \cdots$ и через $b_1, b_2, \cdots$, далее, как и раньше, все не более чем $(n+1)$-значные числа с четной, соответственно с нечетной суммами цифр обозначим через $A_1, A_2, \cdots$ и через $B_1, B_2, \cdots$; наконец сохраним обозначения $\alpha_1, \alpha_2, \cdots$ и $\beta_1, \beta_2, \cdots$ для четных и для нечетных цифр. По предположению индукции имеем
$\sum_{k} a_k^p = \sum_{k} b_k^p (=s_{n,p})$ для всех $p < n$; (*)
кроме того, условимся обозначать через
$S_{n,p} = \sum_{k} a_k^p + \sum_{k} b_k^p$ (**)
сумму $p$-х степеней всех не более чем $n$-значных чисел.
Заметим далее, что каждое число $A_i$ имеет либо вид $\overline {a_k \alpha_l} = 10a_k + \alpha_l$, либо вид $\overline {b_k \beta_l} = 10b_k + \beta_l$; аналогично, числа $B_j$, могут иметь форму $\overline {a_k \beta_l} = 10a_k + \beta_l$ или $\overline {b_k \alpha_l} = 10b_k + \alpha_l$. Используя аналогичные употребленным выше обозначения, найдем
$\sum_{i}{A_i^m} = \sum (10a_k + \alpha_l)^m + \sum {10b_k + \beta_l}^m$; здесь $m < n + 1$.
Но, по формуле бинома Ньютона, например,
$(10a_k + \alpha_l)^m = 10^m \cdot a_k^m + C_m^1 \cdot 10^{m-1}a_k^{m-1} \alpha_l + C_m^2 \cdot 10^{m-2} a_k^{m-2} \alpha_l^2 + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 a_k \alpha_l^{m-1} + \alpha_l^m$.
Поэтому, используя обозначения (*), получим:
$\sum (10a_k + \alpha_l)^m = 10^m \sum a_k^m + C_m^1 \cdot 10^{m-1} \sum a_k^{m-1} \sum \alpha_l + C_m^2 10^{m-2} \sum a_k^{m-2} \sum \alpha_l^2 + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 \sum a_k \sum \alpha_l^{m-1} + \sum \alpha_l^m = 10^m \sum a_{k}^{m} + C_{m}^{1} 10^{m-1}s_{n,m-1} \sum \alpha_{l} + C_{m}^{2} 10^{m-2} S_{n,m - 2} \sum \alpha_{l}^{2} + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 s_{n, 1} \sum \alpha_l^{m-1} + \sum \alpha_l^m$
и, аналогично,
$\sum (10b_k + \beta_l)^m = 10^m \sum b_k^m + C_m^1 \cdot 10^{m-1} \sum b_k^{m-1} \sum \beta_l + C_m^2 10^{m-2} \sum b_k^{m-2} \sum \beta_l^2 + \cdots C_{m}^{m - 1} \cdot 10 \sum b_{k} \sum \beta_{l}^{m-1} + \sum \beta_{l}^{m} = 10^{m} \sum b_{k}^{m} + C_{m}^{1} 10^{m-1} s_{n,m-1} \sum \beta_{l} + C_{m}^{2} \cdot 10^{m-2} s_{n,m-2} \sum \beta_{l}^{2} + \cdots + C_{m}^{m - 1} \cdot 10 s_{n,1} \sum \beta_{l}^{ m - 1} + \sum \beta_{l}^{m}$.
Таким образом,
$\sum A_i^m = \sum (10a_k + \alpha_l)^m + \sum (10b_k + \beta_l)^m = 10^mS_{n,m} + C_m^1 \cdot 10^{m-1}s_{m, m-1}S_{1,1} + C_m^2 \cdot 10^{m-2} s_{n, m-2} S_{1,2} + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 s_{n,1}S_{1, m-1} + S_{1,m}$.
Используя те же обозначения (*) и (**), формулу бинома Ньютона и производя аналогичные преобразования, мы придем к точно такому же выражению для суммы
$\sum B_j^m = \sum (10a_k + \beta_l)^m + \sum (10b_k + \alpha_l)^m$,
что и доказывает требуемое утверждение.
Несправедливость выписанного в условии задачи тождества для степеней $m \geq n$ следует уже из того, что при $n = m = 1$ имеем:
$\sum \alpha_i^1 = \sum \alpha_i = 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20$, а
$\sum \beta_i^1 = \sum \beta_i = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.
Пусть $n \geq 2$ и $A_1, A_2, \cdots $ - все не более, чем $n$ -значные неотрицательные целые числа, сумма цифр которых четна, а $b_1, b_2, \cdots$ - те не более чем п-значные числа, сумма цифр которых нечетна. Доказать, что
$A_1^m + A_2^m + \cdots = b_1^m + b_2^m + \cdots$
при всех (натуральных) $m < n$. Будет ли верно утверждение задачи также и при $m \geq n$?
Решение:
Заметим, прежде всего, что утверждение задачи можно считать верным и при $m = 0$ (в таком случае оговорка $n \geq 2$ становится необязательной - мы можем допускать и $n = 1$), если только положить $0^0 = 1$ (поскольку $a^0 = 1$ для всех $a$). Пусть, например, $n = 1$; обозначая все четные цифры (включая и цифру 0) через $\alpha_1, \alpha_2, \cdots$, а нечетные цифры - через $\beta_1, \beta_2, \cdots$ получим:
$\alpha_1^0 + \alpha_2^0 + \cdots = 0^0 + 2^0 + 4^0 + 6^0 + 8^0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$
и
$\beta_1^0 + \beta_2^0 + \cdots = 1^0 + 3^0 + 5^0 + 7^0 + 9^0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5$.
Перейдем теперь к следующему значению $n$: пусть $n = 2$; через $\alpha_1, \alpha_2, \cdots$ и $\beta_1, \beta_2, \cdots$ мы по-прежнему обозначим все четные и все нечетные цифры, а через $A_1, A_2, \cdots$ и $B_1, B_2, \cdots$ - все не более чем двузначные числа с четной, соответственно с нечетной суммами цифр. Так как, очевидно, каждое число $A_i$ имеет либо вид $\overline { \alpha_k \alpha_l (= 10 \alpha_k + \alpha_1)}$, либо вид $\overline { \beta_k \beta_l} (=10 \beta_k + \beta_l)$, а числа $B_j$, напротив, имеют вид $\overline { \alpha_k \beta_l} = 10 \alpha_k + \beta_l$ и $\overline { \beta_k \alpha_l} = 10 \beta_k + \alpha_l$, то, обозначая через $\sum {A_l}$ и через $\sum B_j$ сумму всевозможных не более чем двузначных неотрицательных чисел с четной, соответственно с нечетной суммами цифр, а через $\sum \alpha_k$ и $\sum \beta_l$ - сумму всех четных и всех нечетных цифр, получим:
$\sum A_i = \sum (10 \alpha_k + \alpha_l) + \sum (10 \beta_k + \beta_l) = 10 \left ( \sum 10 \alpha_k + \sum \beta_k \right ) + \left ( \sum \alpha_i + \sum \beta \right )$
и, аналогично,
$\sum B_j = \sum \left ( 10 \alpha_k + \beta_l \right ) + \sum \left (10 \beta_k + \alpha_l \right ) = 10 \left ( \sum \alpha_k + \sum \beta_k \right ) + \left (\sum \beta_l + \sum \alpha_i \right )$;
эти два равенства и доказывают, что $\sum A_i = \sum B_j$.
В точности то же рассуждение лежит в основе общего доказательства требуемого утверждения методом математической индукции. Пусть мы уже установили справедливость его для некоторого $n$ (и всех $m < n$); рассмотрим следующее натуральное число $n+1$ (и какую-то степень $m < n+1$). Условимся обозначать все не более чем $n$-значные неотрицательные числа с четной, соответственно с нечетной суммами цифр, через $a_1, a_2, \cdots$ и через $b_1, b_2, \cdots$, далее, как и раньше, все не более чем $(n+1)$-значные числа с четной, соответственно с нечетной суммами цифр обозначим через $A_1, A_2, \cdots$ и через $B_1, B_2, \cdots$; наконец сохраним обозначения $\alpha_1, \alpha_2, \cdots$ и $\beta_1, \beta_2, \cdots$ для четных и для нечетных цифр. По предположению индукции имеем
$\sum_{k} a_k^p = \sum_{k} b_k^p (=s_{n,p})$ для всех $p < n$; (*)
кроме того, условимся обозначать через
$S_{n,p} = \sum_{k} a_k^p + \sum_{k} b_k^p$ (**)
сумму $p$-х степеней всех не более чем $n$-значных чисел.
Заметим далее, что каждое число $A_i$ имеет либо вид $\overline {a_k \alpha_l} = 10a_k + \alpha_l$, либо вид $\overline {b_k \beta_l} = 10b_k + \beta_l$; аналогично, числа $B_j$, могут иметь форму $\overline {a_k \beta_l} = 10a_k + \beta_l$ или $\overline {b_k \alpha_l} = 10b_k + \alpha_l$. Используя аналогичные употребленным выше обозначения, найдем
$\sum_{i}{A_i^m} = \sum (10a_k + \alpha_l)^m + \sum {10b_k + \beta_l}^m$; здесь $m < n + 1$.
Но, по формуле бинома Ньютона, например,
$(10a_k + \alpha_l)^m = 10^m \cdot a_k^m + C_m^1 \cdot 10^{m-1}a_k^{m-1} \alpha_l + C_m^2 \cdot 10^{m-2} a_k^{m-2} \alpha_l^2 + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 a_k \alpha_l^{m-1} + \alpha_l^m$.
Поэтому, используя обозначения (*), получим:
$\sum (10a_k + \alpha_l)^m = 10^m \sum a_k^m + C_m^1 \cdot 10^{m-1} \sum a_k^{m-1} \sum \alpha_l + C_m^2 10^{m-2} \sum a_k^{m-2} \sum \alpha_l^2 + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 \sum a_k \sum \alpha_l^{m-1} + \sum \alpha_l^m = 10^m \sum a_{k}^{m} + C_{m}^{1} 10^{m-1}s_{n,m-1} \sum \alpha_{l} + C_{m}^{2} 10^{m-2} S_{n,m - 2} \sum \alpha_{l}^{2} + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 s_{n, 1} \sum \alpha_l^{m-1} + \sum \alpha_l^m$
и, аналогично,
$\sum (10b_k + \beta_l)^m = 10^m \sum b_k^m + C_m^1 \cdot 10^{m-1} \sum b_k^{m-1} \sum \beta_l + C_m^2 10^{m-2} \sum b_k^{m-2} \sum \beta_l^2 + \cdots C_{m}^{m - 1} \cdot 10 \sum b_{k} \sum \beta_{l}^{m-1} + \sum \beta_{l}^{m} = 10^{m} \sum b_{k}^{m} + C_{m}^{1} 10^{m-1} s_{n,m-1} \sum \beta_{l} + C_{m}^{2} \cdot 10^{m-2} s_{n,m-2} \sum \beta_{l}^{2} + \cdots + C_{m}^{m - 1} \cdot 10 s_{n,1} \sum \beta_{l}^{ m - 1} + \sum \beta_{l}^{m}$.
Таким образом,
$\sum A_i^m = \sum (10a_k + \alpha_l)^m + \sum (10b_k + \beta_l)^m = 10^mS_{n,m} + C_m^1 \cdot 10^{m-1}s_{m, m-1}S_{1,1} + C_m^2 \cdot 10^{m-2} s_{n, m-2} S_{1,2} + \cdots + C_m^{m-1} \cdot 10 s_{n,1}S_{1, m-1} + S_{1,m}$.
Используя те же обозначения (*) и (**), формулу бинома Ньютона и производя аналогичные преобразования, мы придем к точно такому же выражению для суммы
$\sum B_j^m = \sum (10a_k + \beta_l)^m + \sum (10b_k + \alpha_l)^m$,
что и доказывает требуемое утверждение.
Несправедливость выписанного в условии задачи тождества для степеней $m \geq n$ следует уже из того, что при $n = m = 1$ имеем:
$\sum \alpha_i^1 = \sum \alpha_i = 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20$, а
$\sum \beta_i^1 = \sum \beta_i = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.
