Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2824
2019-05-06 
Пусть $А$ - некоторое натуральное число. Доказать, что существует бесконечно много таких (натуральных) чисел $N$, записываемых цифрами $1, 2, \cdots, 9$ (без нулей!), что числа $N$ и $AN$ имеют одинаковые суммы цифр.
Оговорка об отсутствии нулей в десятичной записи чисел N связана с тем, что если приписать к записи $N$ любое число нулей в конце, то суммы цифр чисел $N$ и $AN$, разумеется, не изменятся; поэтому без этой оговорки из существования одного удовлетворяющего условию задачи числа $N$ сразу же следовало бы существование бесконечного множества таких чисел.
Решение:
Пусть число $A = \overline {a_na_{n-1} \cdots a_2a_1}$ $n$-значно. Мы можем, разумеется, считать, что $a_1 \neq 0$, ибо нули в конце записи $А$ можно просто отбросить - это не изменит суммы цифр числа $AN$ для любого $N$. Рассмотрим теперь число $N = 10^m - 1 = \underbrace {999 \cdots 9}_{m \:девяток}$, где $m \geq n$. Очевидно, что число
$AN = 10^mA - A = \overline {A_nA_{n-1} \cdots A_1 \underbrace {000 \cdots 0}_{m \:нулей}} - \overline {a_na_{n-1} \cdots a_1} = \overline {a_na_{n-1} \cdots a_2 (a_1 - 1) \underbrace {999 \cdots 9}_{m-n \:девяток} (9 - a_n)(9 - a_{n-1} \cdots (9-a_2)(10-a_1)}$
имеет ту же сумму $9m$ цифр, что и число $N$.
Ответ: Условию задачи удовлетворяют все такие $N \geq А$, что $N = 10^m - 1$.
Пусть $А$ - некоторое натуральное число. Доказать, что существует бесконечно много таких (натуральных) чисел $N$, записываемых цифрами $1, 2, \cdots, 9$ (без нулей!), что числа $N$ и $AN$ имеют одинаковые суммы цифр.
Оговорка об отсутствии нулей в десятичной записи чисел N связана с тем, что если приписать к записи $N$ любое число нулей в конце, то суммы цифр чисел $N$ и $AN$, разумеется, не изменятся; поэтому без этой оговорки из существования одного удовлетворяющего условию задачи числа $N$ сразу же следовало бы существование бесконечного множества таких чисел.
Решение:
Пусть число $A = \overline {a_na_{n-1} \cdots a_2a_1}$ $n$-значно. Мы можем, разумеется, считать, что $a_1 \neq 0$, ибо нули в конце записи $А$ можно просто отбросить - это не изменит суммы цифр числа $AN$ для любого $N$. Рассмотрим теперь число $N = 10^m - 1 = \underbrace {999 \cdots 9}_{m \:девяток}$, где $m \geq n$. Очевидно, что число
$AN = 10^mA - A = \overline {A_nA_{n-1} \cdots A_1 \underbrace {000 \cdots 0}_{m \:нулей}} - \overline {a_na_{n-1} \cdots a_1} = \overline {a_na_{n-1} \cdots a_2 (a_1 - 1) \underbrace {999 \cdots 9}_{m-n \:девяток} (9 - a_n)(9 - a_{n-1} \cdots (9-a_2)(10-a_1)}$
имеет ту же сумму $9m$ цифр, что и число $N$.
Ответ: Условию задачи удовлетворяют все такие $N \geq А$, что $N = 10^m - 1$.
