Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2823
2019-05-06 
На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?
Решение:
Так как $A = \underline {999999999 = 1000000000 - 1}$, то произведение $AX = 10^9X - X = \overline{x_1x_2 \cdots x_k000000000} - \overline{x_1x_2 \cdots x_k}$, где $X = \overline {x_1x_2 \cdots x_k}$ - произвольное натуральное число (записываемое цифрами $x_1, x_2, \cdots, x_k$). Нам требуется, чтобы число $AX$ записывалось одними единицами, т. е. чтобы было
$\overline {x_1x_2 \cdots x_k 000000000} - \overline{x_1x_2 \cdots x_k} = 1 \overline{1 \cdots 1111}$,
или
$\overline {x_1x_2 \cdots x_k 000000000} - \overline{11 \cdots 1111} = \overline{x_1x_2 \cdots x_k}$.
А так как все цифры вычитаемого нам известны, то мы можем производить вычитание «столбиком», последовательно определяя все цифры числа $X$, начиная с последней:
где сверху в скобках выписываются последовательно определяемые цифры числа $X$. Этот процесс придется продолжать до тех пор, пока мы не придем к группе единиц, которые при образовании разности сократятся: ведь только за счет того, что полученное в разности число $X$ будет в нашей записи начинаться с группы (разумеется, не учитываемых) нулей, можно будет добиться совпадения записей $X$ в уменьшаемом и в разности!
Окончательно мы приходим к следующему значению числа $X = X_0$:
$X_0 = \underbrace {11 \cdots 1}_{9 \:цифр} \underbrace {22 \cdots 2}_{9 \:цифр} \underbrace {33 \cdots 3}_{9 \:цифр} \cdots \underbrace {77 \cdots 7}_{9 \:цифр} \underbrace {88 \cdots 8}_{9 \:цифр} 9$;
запись этого числа состоит из $\underbrace {9 + 9+ \cdots 9}_{7 \:слагаемых} + 8 + 1 = 72$ цифр.
Полученное число $X_0$ является, очевидно, наименьшим из всех обладающих требуемым свойством, но оно не является единственным таким числом. У нас процесс вычитания завершился, когда в начале образующего разность числа $X$ появились 9 цифр 0, которые мы просто отбросили, считая, что их можно не засчитывать, ибо ими запись $X$ начинается. Можно, однако, счесть все эти цифры 0 «существенными», выписать их вслед за цифрами 1 в уменьшаемом и продолжать вычитание. Ясно, что после этих девяти нулей у нас снова начнут появляться цифры числа $X_0$ - и запись $X$ приобретет вид:
$X_1 = \overline {\bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0}}$,
где $\bar {X_0}$ - десятичная запись числа $X_0$. Вообще, как следует из нашего рассуждения, все удовлетворяющие условию задачи числа $X$ имеют вид:
$X = X_n = \overline {\bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0} \cdots \bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0}}$,
где число $n$ наборов из девяти последовательных нулей может быть любым: $n = 0,1,2, \cdots$ ; число $X_n$ состоит из $72(n+1) + 9n = 81n + 72$ цифр.
На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?
Решение:
Так как $A = \underline {999999999 = 1000000000 - 1}$, то произведение $AX = 10^9X - X = \overline{x_1x_2 \cdots x_k000000000} - \overline{x_1x_2 \cdots x_k}$, где $X = \overline {x_1x_2 \cdots x_k}$ - произвольное натуральное число (записываемое цифрами $x_1, x_2, \cdots, x_k$). Нам требуется, чтобы число $AX$ записывалось одними единицами, т. е. чтобы было
$\overline {x_1x_2 \cdots x_k 000000000} - \overline{x_1x_2 \cdots x_k} = 1 \overline{1 \cdots 1111}$,
или
$\overline {x_1x_2 \cdots x_k 000000000} - \overline{11 \cdots 1111} = \overline{x_1x_2 \cdots x_k}$.
А так как все цифры вычитаемого нам известны, то мы можем производить вычитание «столбиком», последовательно определяя все цифры числа $X$, начиная с последней:
где сверху в скобках выписываются последовательно определяемые цифры числа $X$. Этот процесс придется продолжать до тех пор, пока мы не придем к группе единиц, которые при образовании разности сократятся: ведь только за счет того, что полученное в разности число $X$ будет в нашей записи начинаться с группы (разумеется, не учитываемых) нулей, можно будет добиться совпадения записей $X$ в уменьшаемом и в разности!
Окончательно мы приходим к следующему значению числа $X = X_0$:
$X_0 = \underbrace {11 \cdots 1}_{9 \:цифр} \underbrace {22 \cdots 2}_{9 \:цифр} \underbrace {33 \cdots 3}_{9 \:цифр} \cdots \underbrace {77 \cdots 7}_{9 \:цифр} \underbrace {88 \cdots 8}_{9 \:цифр} 9$;
запись этого числа состоит из $\underbrace {9 + 9+ \cdots 9}_{7 \:слагаемых} + 8 + 1 = 72$ цифр.
Полученное число $X_0$ является, очевидно, наименьшим из всех обладающих требуемым свойством, но оно не является единственным таким числом. У нас процесс вычитания завершился, когда в начале образующего разность числа $X$ появились 9 цифр 0, которые мы просто отбросили, считая, что их можно не засчитывать, ибо ими запись $X$ начинается. Можно, однако, счесть все эти цифры 0 «существенными», выписать их вслед за цифрами 1 в уменьшаемом и продолжать вычитание. Ясно, что после этих девяти нулей у нас снова начнут появляться цифры числа $X_0$ - и запись $X$ приобретет вид:
$X_1 = \overline {\bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0}}$,
где $\bar {X_0}$ - десятичная запись числа $X_0$. Вообще, как следует из нашего рассуждения, все удовлетворяющие условию задачи числа $X$ имеют вид:
$X = X_n = \overline {\bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0} \cdots \bar {X_0} \underbrace {00 \cdots 0}_{9 \:цифр} \bar {X_0}}$,
где число $n$ наборов из девяти последовательных нулей может быть любым: $n = 0,1,2, \cdots$ ; число $X_n$ состоит из $72(n+1) + 9n = 81n + 72$ цифр.
