Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2822
2019-05-06 
Найти все десятизначные числа такие, что 1-я цифра числа равна числу нулей в его десятичной записи, 2-я цифра - числу единиц, и т. д. вплоть До десятой цифры, равной числу девяток в записи числа.
Решение:
Пусть искомое число $X = \overline {a_0a_1a_2 \cdots a_9}$ (где $a_0, a_1, \cdots, a_9$ цифры числа); при этом $a_0$ есть количество нулей среди цифр $X$, $a_1$, - количество единиц, $a_2$ - количество двоек, и т. д. Поэтому сумма всех цифр $X$ равна
$a_0 + a_1 + a_2 \cdots + a_9 = a_0 \cdot 0 + a_1 \cdot 1 + a_2 \cdots 2 + \cdots + a_9 \cdot 9$,
откуда получаем
$a_0 = a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6 + 6a_7 + 7a_8 + 8a_9$. (*)
Равенство $a_0 = 0$ исключается условиями задачи (иначе число $X$ не было бы 10-значным; впрочем, условие $a_0 \neq 0$ сразу следует и из (*)); равенство $a_0 = 1$ приводит к невозможным значениям $a_0 = a_2 = 1$, $a_1 = 8$ (ибо всего мы должны иметь 10 цифр), все остальные цифры - нули, равенство $a_0 = 2$ совместимо лишь с (также невозможными!) значениями $a_0 = a_2 = 2, a_1 = 6$, все остальные цифры - нули, или $a_0 = 2, a_3 = 1, a_1 = 7$, остальные цифры - нули. Пусть теперь $a_0 = i > 2$; равенство (*) мы перепишем так:
$a_0 = i = a_2 + 2a_3 + \cdots + (i - 1)a_i + \cdots + 8a_9$, (**)
(если $i = 3$, то слагаемые $2a_3$ и $(i-1) a_i$ совпадают; если $i = 9$, то совпадают $(i-1)a_i$ и $8a_9$). При этом $a_i$ - число равных $i$ цифр числа $X$ - отлично от нуля (ибо $a_0 = i$); с другой стороны, (**) невозможно при $a_i > 1$, так что $a_i = 1$. Поэтому (**) можно переписать так:
$1 = a_2 + 2a_3 + \cdots + (i-2)a_{i-1} + \cdots + 8a_9$, (***)
откуда сразу следует, что $a_2 = 1$, а все отличные от $a_0, a_1, a_2$ и $a_i$ цифры числа $X$ равны нулю. Но если $a_2 = 1$, то среди цифр числа $X$ есть двойка, которой, очевидно, может быть лишь цифра $a_1$. Таким образом, в десятичной записи $X$ отличны от нуля лишь цифры $a_0 (=i)$, $a_1 = 2, a_2 = 1$ и $a_i = 1$, т. е. среди цифр $X$ есть $i$ нулей, 2 единицы, 1 двойка и 1 цифра $i$ откуда (поскольку $X$ 10-значно) $i = 10 - 2 - 1 - 1 = 6$.
И так, $X = 6 210 001 000$ (легко проверить, что это число действительно удовлетворяет всем условиям задачи).
Ответ: 6 210 001 000.
Найти все десятизначные числа такие, что 1-я цифра числа равна числу нулей в его десятичной записи, 2-я цифра - числу единиц, и т. д. вплоть До десятой цифры, равной числу девяток в записи числа.
Решение:
Пусть искомое число $X = \overline {a_0a_1a_2 \cdots a_9}$ (где $a_0, a_1, \cdots, a_9$ цифры числа); при этом $a_0$ есть количество нулей среди цифр $X$, $a_1$, - количество единиц, $a_2$ - количество двоек, и т. д. Поэтому сумма всех цифр $X$ равна
$a_0 + a_1 + a_2 \cdots + a_9 = a_0 \cdot 0 + a_1 \cdot 1 + a_2 \cdots 2 + \cdots + a_9 \cdot 9$,
откуда получаем
$a_0 = a_2 + 2a_3 + 3a_4 + 4a_5 + 5a_6 + 6a_7 + 7a_8 + 8a_9$. (*)
Равенство $a_0 = 0$ исключается условиями задачи (иначе число $X$ не было бы 10-значным; впрочем, условие $a_0 \neq 0$ сразу следует и из (*)); равенство $a_0 = 1$ приводит к невозможным значениям $a_0 = a_2 = 1$, $a_1 = 8$ (ибо всего мы должны иметь 10 цифр), все остальные цифры - нули, равенство $a_0 = 2$ совместимо лишь с (также невозможными!) значениями $a_0 = a_2 = 2, a_1 = 6$, все остальные цифры - нули, или $a_0 = 2, a_3 = 1, a_1 = 7$, остальные цифры - нули. Пусть теперь $a_0 = i > 2$; равенство (*) мы перепишем так:
$a_0 = i = a_2 + 2a_3 + \cdots + (i - 1)a_i + \cdots + 8a_9$, (**)
(если $i = 3$, то слагаемые $2a_3$ и $(i-1) a_i$ совпадают; если $i = 9$, то совпадают $(i-1)a_i$ и $8a_9$). При этом $a_i$ - число равных $i$ цифр числа $X$ - отлично от нуля (ибо $a_0 = i$); с другой стороны, (**) невозможно при $a_i > 1$, так что $a_i = 1$. Поэтому (**) можно переписать так:
$1 = a_2 + 2a_3 + \cdots + (i-2)a_{i-1} + \cdots + 8a_9$, (***)
откуда сразу следует, что $a_2 = 1$, а все отличные от $a_0, a_1, a_2$ и $a_i$ цифры числа $X$ равны нулю. Но если $a_2 = 1$, то среди цифр числа $X$ есть двойка, которой, очевидно, может быть лишь цифра $a_1$. Таким образом, в десятичной записи $X$ отличны от нуля лишь цифры $a_0 (=i)$, $a_1 = 2, a_2 = 1$ и $a_i = 1$, т. е. среди цифр $X$ есть $i$ нулей, 2 единицы, 1 двойка и 1 цифра $i$ откуда (поскольку $X$ 10-значно) $i = 10 - 2 - 1 - 1 = 6$.
И так, $X = 6 210 001 000$ (легко проверить, что это число действительно удовлетворяет всем условиям задачи).
Ответ: 6 210 001 000.
