Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2821
2019-05-06 
На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99 999 включительно (число таких чисел, очевидно, равно 88 889). Затем эти карточки произвольным образом выложили в одну цепочку. Доказать, что полученное таким путем $444 445$-значное число ($444 445 = 88 889 \cdot 5$) не является степенью двойки.
Решение:
Для того, чтобы доказать требуемое утверждение, достаточно проверить, что 444 445-значное число $А$, полученное выписыванием друг за другом 88 889 пятизначных чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{88889}$, делится на какое-либо отличное от 2 число. Но $А$ делится на 11 111. В самом деле, наше число $A = a_1a_2a_3 \cdots a_{88}a_{887}a_{88888}a_{88889}$, очевидно, равно
$A = a_{88889} + a_{89888} \cdot 10^5 + a_{88887} \cdot 10^{10} + \cdots + a_1 \cdot 10^{44440} = (a_1 + a_2 + \cdots + a_{88888} + a_{88889}) + a_{88888} (10^5 - 1) + a_{88887} (10^{10} - 1) + \cdots + a_1 (10^{44440} - 1)$. (*)
А так как $a_1, a_2, \cdots, a_{88889}$ - это все целые числа от 11 111 до 99 999, то их сумма равна
$11111 + 11112 + 11113 + \cdots + 99999 = \frac {11111 + 99999}{2} \cdot 88889 = 11111 \cdot 5 \cdot 88889$
т. е. она делится на 11 111. Все остальные слагаемые правой части формулы (*) тоже делятся на 11 111 (ибо при всех натуральных $k$ разность $10^5k - 1 = (10^5)^k - 1^k$ делится на разность оснований $10^5 - 1 = 99999 = 9 \cdot 11111$, а значит и на 11 111); поэтому $А$ делится на 11111.
Ответ: Это число делится на 11 111.
На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99 999 включительно (число таких чисел, очевидно, равно 88 889). Затем эти карточки произвольным образом выложили в одну цепочку. Доказать, что полученное таким путем $444 445$-значное число ($444 445 = 88 889 \cdot 5$) не является степенью двойки.
Решение:
Для того, чтобы доказать требуемое утверждение, достаточно проверить, что 444 445-значное число $А$, полученное выписыванием друг за другом 88 889 пятизначных чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{88889}$, делится на какое-либо отличное от 2 число. Но $А$ делится на 11 111. В самом деле, наше число $A = a_1a_2a_3 \cdots a_{88}a_{887}a_{88888}a_{88889}$, очевидно, равно
$A = a_{88889} + a_{89888} \cdot 10^5 + a_{88887} \cdot 10^{10} + \cdots + a_1 \cdot 10^{44440} = (a_1 + a_2 + \cdots + a_{88888} + a_{88889}) + a_{88888} (10^5 - 1) + a_{88887} (10^{10} - 1) + \cdots + a_1 (10^{44440} - 1)$. (*)
А так как $a_1, a_2, \cdots, a_{88889}$ - это все целые числа от 11 111 до 99 999, то их сумма равна
$11111 + 11112 + 11113 + \cdots + 99999 = \frac {11111 + 99999}{2} \cdot 88889 = 11111 \cdot 5 \cdot 88889$
т. е. она делится на 11 111. Все остальные слагаемые правой части формулы (*) тоже делятся на 11 111 (ибо при всех натуральных $k$ разность $10^5k - 1 = (10^5)^k - 1^k$ делится на разность оснований $10^5 - 1 = 99999 = 9 \cdot 11111$, а значит и на 11 111); поэтому $А$ делится на 11111.
Ответ: Это число делится на 11 111.
