Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2820
2019-05-06 
Может ли являться полным квадратом целое число, запись которого в десятичной системе счисления содержит
а) некоторое количество шестерок и некоторое количество нулей;
б) цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9 (каждую - по одному разу), причем цифра 5 стоит на последнем месте?
Решение:
а) Не может. Если десятичная запись числа $N = n^2$ оканчивается нулем, то она обязательно оканчивается четным числом нулей и число $N_1$, получаемое из $N$ вычеркиванием этих нулей в конце, также является полным квадратом; поэтому достаточно доказать, что не может являться полным квадратом число, записываемое лишь цифрами 6 и 0 и кончающееся цифрой 6. Но такое число кончается либо цифрами 06, либо цифрами 66, т. е. оно делится на 2 и не делится на 4; а значит, и не может быть полным квадратом.
б) Не может. Если десятичная запись числа $N = n^2$ оканчивается цифрой 5, то и $n$ должно оканчиваться той же цифрой, т. е. $n = 10n_1 + 5, n^2 = (10n_1 + 5)^2 = 100n_1^2 + 100n_1 + 25 = 100n_1(n_1 + 1) + 25$; таким образом, число $N = 100N_1 + 25$ оканчивается цифрами 25 и $n_1 (n_1 + 1)$. Но ясно, что последняя цифра произведения $n_1 (n_1 + 1)$ совпадает с последней цифрой произведения последних цифр чисел $n_1$ и $(n_1 + 1)$, которая может представлять собой лишь цифру 0, 2 или 6, ибо произведения $0 \cdot 1, 4 \cdot 5, 5 \cdot 6$ и $9 \cdot 0$ кончаются цифрой 0, произведения $1 \cdot 2, 3 \cdot 4, 6 \cdot 7$ и $8 \cdot 9$ - цифрой 2 и произведения $2 \cdot 3$ и $7 \cdot 8$ - цифрой 6. Таким образом, последней цифрой числа $N_1$ - и третьей от конца цифрой числа $N$ - обязательно является цифра 6, ибо ни комбинацией цифр 025, ни цифрами 225 число $N$ кончаться не может (запись $N$ вообще не содержит цифры 0, а цифру 2 содержит лишь один раз). Но если $N = 1000N_2 + 625$, то $N$ делится на $5^3 = 125$ (ибо и $1000N_2$, и 625 делятся на 125); а тогда, поскольку $N$ есть полный квадрат, $N$ делится даже на $5^4 = 625$. Но если $N$ делится на $5^4$, то и число $1000N_2 = N - 625$ делится на $5^4$, а значит, $N_2$ делится на 5. Если же $N_2$ делится на 5, то оканчиваться запись этого числа может лишь цифрами 0 или 5; а это значит, что запись числа $N$ оканчивается четырьмя цифрами 0625 или 5625, что, однако, невозможно (ибо запись $N$ содержит лишь одну цифру 5 и вовсе не содержит цифры 0).
Ответ: Не может.
Может ли являться полным квадратом целое число, запись которого в десятичной системе счисления содержит
а) некоторое количество шестерок и некоторое количество нулей;
б) цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, и 9 (каждую - по одному разу), причем цифра 5 стоит на последнем месте?
Решение:
а) Не может. Если десятичная запись числа $N = n^2$ оканчивается нулем, то она обязательно оканчивается четным числом нулей и число $N_1$, получаемое из $N$ вычеркиванием этих нулей в конце, также является полным квадратом; поэтому достаточно доказать, что не может являться полным квадратом число, записываемое лишь цифрами 6 и 0 и кончающееся цифрой 6. Но такое число кончается либо цифрами 06, либо цифрами 66, т. е. оно делится на 2 и не делится на 4; а значит, и не может быть полным квадратом.
б) Не может. Если десятичная запись числа $N = n^2$ оканчивается цифрой 5, то и $n$ должно оканчиваться той же цифрой, т. е. $n = 10n_1 + 5, n^2 = (10n_1 + 5)^2 = 100n_1^2 + 100n_1 + 25 = 100n_1(n_1 + 1) + 25$; таким образом, число $N = 100N_1 + 25$ оканчивается цифрами 25 и $n_1 (n_1 + 1)$. Но ясно, что последняя цифра произведения $n_1 (n_1 + 1)$ совпадает с последней цифрой произведения последних цифр чисел $n_1$ и $(n_1 + 1)$, которая может представлять собой лишь цифру 0, 2 или 6, ибо произведения $0 \cdot 1, 4 \cdot 5, 5 \cdot 6$ и $9 \cdot 0$ кончаются цифрой 0, произведения $1 \cdot 2, 3 \cdot 4, 6 \cdot 7$ и $8 \cdot 9$ - цифрой 2 и произведения $2 \cdot 3$ и $7 \cdot 8$ - цифрой 6. Таким образом, последней цифрой числа $N_1$ - и третьей от конца цифрой числа $N$ - обязательно является цифра 6, ибо ни комбинацией цифр 025, ни цифрами 225 число $N$ кончаться не может (запись $N$ вообще не содержит цифры 0, а цифру 2 содержит лишь один раз). Но если $N = 1000N_2 + 625$, то $N$ делится на $5^3 = 125$ (ибо и $1000N_2$, и 625 делятся на 125); а тогда, поскольку $N$ есть полный квадрат, $N$ делится даже на $5^4 = 625$. Но если $N$ делится на $5^4$, то и число $1000N_2 = N - 625$ делится на $5^4$, а значит, $N_2$ делится на 5. Если же $N_2$ делится на 5, то оканчиваться запись этого числа может лишь цифрами 0 или 5; а это значит, что запись числа $N$ оканчивается четырьмя цифрами 0625 или 5625, что, однако, невозможно (ибо запись $N$ содержит лишь одну цифру 5 и вовсе не содержит цифры 0).
Ответ: Не может.
