Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2819
2019-05-06 
Каждое из целых чисел от единицы до миллиарда включительно заменяется суммой цифр числа; однозначные числа при этом, разумеется, не меняются, а остальные уменьшаются. Затем каждое из вновь полученных чисел снова заменяется суммой его цифр - и так до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел будет больше среди полученных чисел - единиц или двоек?
Решение:
Хорошо известно, что каждое целое положительное число $N$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и сумма его цифр. (Это следует из того, что стоящая на $(k+1)$-м от конца месте цифра $A_k$ десятичной записи $N$ символизирует слагаемое $A_k \cdot 10^k$ в разложении $N$ по степеням десяти; но $A_k \cdot 10^k = A_k \cdot (99 \cdots 9 + 1) = 99 \cdots 9A_k + A_k$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и $A_k$). Отсюда вытекает, что если число $N$ дает при делении на 9 остаток $r \neq 0$, то при многократной замене числа суммой его цифр мы в конце концов придем к однозначному числу $r$, а если $N$ делится на 9 - к числу 9. Таким образом, единицы среди нашего миллиарда однозначных чисел будут соответствовать числам $1, 10, 19, 28, \cdots, 1000000000$, дающим при делении на 9 остаток 1, а двойки - числам $2, 11, 20, 29, \cdots, 999999992$, дающим при делении на 9 остаток 2. Но первых чисел, очевидно, на одно больше, чем вторых; поэтому единиц мы получим на одну больше, чем двоек.
Ответ: Единиц будет на одну больше, чем двоек.
Каждое из целых чисел от единицы до миллиарда включительно заменяется суммой цифр числа; однозначные числа при этом, разумеется, не меняются, а остальные уменьшаются. Затем каждое из вновь полученных чисел снова заменяется суммой его цифр - и так до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел будет больше среди полученных чисел - единиц или двоек?
Решение:
Хорошо известно, что каждое целое положительное число $N$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и сумма его цифр. (Это следует из того, что стоящая на $(k+1)$-м от конца месте цифра $A_k$ десятичной записи $N$ символизирует слагаемое $A_k \cdot 10^k$ в разложении $N$ по степеням десяти; но $A_k \cdot 10^k = A_k \cdot (99 \cdots 9 + 1) = 99 \cdots 9A_k + A_k$ дает при делении на 9 тот же остаток, что и $A_k$). Отсюда вытекает, что если число $N$ дает при делении на 9 остаток $r \neq 0$, то при многократной замене числа суммой его цифр мы в конце концов придем к однозначному числу $r$, а если $N$ делится на 9 - к числу 9. Таким образом, единицы среди нашего миллиарда однозначных чисел будут соответствовать числам $1, 10, 19, 28, \cdots, 1000000000$, дающим при делении на 9 остаток 1, а двойки - числам $2, 11, 20, 29, \cdots, 999999992$, дающим при делении на 9 остаток 2. Но первых чисел, очевидно, на одно больше, чем вторых; поэтому единиц мы получим на одну больше, чем двоек.
Ответ: Единиц будет на одну больше, чем двоек.
