Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2815
2019-05-06 
а) Доказать, что сумма всех $n$-значных чисел ($n>2$) равна $\underbrace{494 99 \cdots 9}_{{(n-3) \:раз}} 55 \underbrace{00 \cdots 0}_{(n-2 \:раз}$ (так, сумма всех $(n-3)$ раз $(n-2)$ раз трехзначных чисел равна 494 550, а сумма всех шестизначных чисел 494 999 550 000).
б) Найти сумму всех четырехзначных четных чисел, которые можно записать цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5 (одна и та же цифра в числе может повторяться).
Решение:
а) Выписанное в условии задачи $2n$-значное число можно преобразовать так:
$4 \cdot m10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 4 \cdot 10^{2n-3} + 9 (10^{2n-4} + 10^{2n - 5} + \cdots + 10^n) + 5 \cdot 10^{n-1} + 5 \cdot 10^{n-2} = 4 \cdot 10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 4 \cdot 10^{2n-3} + 9 \cdot 10^n \frac {10^{n-3} - 1}{9} + 5 \cdot 10^{n-1} + 5 \cdot 10^{n-2} = 4 \cdot 10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 5 \cdot 10^{2n-3} - 10^n + 5 \cdot 10^{n-1} + 5 \cdot 10^{n-2} = \frac{1}{2} (8 \cdot 10^{2n-1} + 18 \cdot 10^{2n-2} + 10 \cdot 10^{2n-3} - 2 \cdot 10 + 10^n + 10^{n-1}) = \frac{1}{2} (9 \cdot 10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 9 \cdot 10^{n-1}) = \frac {[(10^n - 1) + 10^{n-1}] \cdot 9 \cdot 10^{n-1}}{2}$.
Но этому же равна и сумма арифметической прогрессии с разностью 1, первым членом $10^{n-1}$ и последним членом $10^n - 1$ (число членов прогрессии равно $10^n - 10^{n-1} = 9 \cdot 10^{n-1}$) - сумма всех $n$-значных чисел.
б) Число тех из рассматриваемых чисел, у которых на первом месте стоит данная цифра $а$ ($а$ может быть равно 1, 2, 3, 4 или 5), есть $6 \cdot 6 \cdot 3 = 108$ (ибо на втором и третьем месте может стоять любая из шести цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, а на третьем месте - любая из трех цифр 0, 2, 4, так как рассматриваются только четные числа). Отсюда общая сумма всех целых тысяч, содержащихся во всех наших числах, равна $(1+2+3+4+5) \cdot 108 \cdot 1000 = 1620000$.
Аналогично, число чисел, у которых на втором месте стоит данная цифра, равно $5 \cdot 6 \cdot 3 = 90$, так как на первом месте может стоять одна из пяти цифр 1, 2, 3, 4 или 5. Отсюда общая сумма всех целых сотен (после вычета всех целых тысяч), содержащихся во всех наших числах, равна $(1+2+3+4+5) \cdot 90 \cdot 100 = 135000$.
Таким же образом получаем, что общая сумма всех целых десятков равна $(1+2+3+4+5) \cdot 90 \cdot 10 = 13500$ и, наконец, сумма единиц равна $(2+4) \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 1 = 1080$.
Искомая сумма равна
$1620000 + 135000 + 13500 + 1080 = 1769580$.
а) Доказать, что сумма всех $n$-значных чисел ($n>2$) равна $\underbrace{494 99 \cdots 9}_{{(n-3) \:раз}} 55 \underbrace{00 \cdots 0}_{(n-2 \:раз}$ (так, сумма всех $(n-3)$ раз $(n-2)$ раз трехзначных чисел равна 494 550, а сумма всех шестизначных чисел 494 999 550 000).
б) Найти сумму всех четырехзначных четных чисел, которые можно записать цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5 (одна и та же цифра в числе может повторяться).
Решение:
а) Выписанное в условии задачи $2n$-значное число можно преобразовать так:
$4 \cdot m10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 4 \cdot 10^{2n-3} + 9 (10^{2n-4} + 10^{2n - 5} + \cdots + 10^n) + 5 \cdot 10^{n-1} + 5 \cdot 10^{n-2} = 4 \cdot 10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 4 \cdot 10^{2n-3} + 9 \cdot 10^n \frac {10^{n-3} - 1}{9} + 5 \cdot 10^{n-1} + 5 \cdot 10^{n-2} = 4 \cdot 10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 5 \cdot 10^{2n-3} - 10^n + 5 \cdot 10^{n-1} + 5 \cdot 10^{n-2} = \frac{1}{2} (8 \cdot 10^{2n-1} + 18 \cdot 10^{2n-2} + 10 \cdot 10^{2n-3} - 2 \cdot 10 + 10^n + 10^{n-1}) = \frac{1}{2} (9 \cdot 10^{2n-1} + 9 \cdot 10^{2n-2} + 9 \cdot 10^{n-1}) = \frac {[(10^n - 1) + 10^{n-1}] \cdot 9 \cdot 10^{n-1}}{2}$.
Но этому же равна и сумма арифметической прогрессии с разностью 1, первым членом $10^{n-1}$ и последним членом $10^n - 1$ (число членов прогрессии равно $10^n - 10^{n-1} = 9 \cdot 10^{n-1}$) - сумма всех $n$-значных чисел.
б) Число тех из рассматриваемых чисел, у которых на первом месте стоит данная цифра $а$ ($а$ может быть равно 1, 2, 3, 4 или 5), есть $6 \cdot 6 \cdot 3 = 108$ (ибо на втором и третьем месте может стоять любая из шести цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, а на третьем месте - любая из трех цифр 0, 2, 4, так как рассматриваются только четные числа). Отсюда общая сумма всех целых тысяч, содержащихся во всех наших числах, равна $(1+2+3+4+5) \cdot 108 \cdot 1000 = 1620000$.
Аналогично, число чисел, у которых на втором месте стоит данная цифра, равно $5 \cdot 6 \cdot 3 = 90$, так как на первом месте может стоять одна из пяти цифр 1, 2, 3, 4 или 5. Отсюда общая сумма всех целых сотен (после вычета всех целых тысяч), содержащихся во всех наших числах, равна $(1+2+3+4+5) \cdot 90 \cdot 100 = 135000$.
Таким же образом получаем, что общая сумма всех целых десятков равна $(1+2+3+4+5) \cdot 90 \cdot 10 = 13500$ и, наконец, сумма единиц равна $(2+4) \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 1 = 1080$.
Искомая сумма равна
$1620000 + 135000 + 13500 + 1080 = 1769580$.
